2025年中考九年级数学三轮冲刺专题练习：二次函数中的最值问题（含答案）

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2025年中考九年级数学三轮冲刺专题练习：二次函数中的最值问题
一．选择题
1．二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2．若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0
3．若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　 ）
A． B． C． D．
5．当x≤a时，二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值为6，则a的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．﹣1或1 D．1
6．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．﹣4或 B．4或 C．﹣4或 D．4或
8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
二．填空题
9．如图，在边长为5cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm2/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形EFGH面积的最小值是　 　cm2．
10．函数y＝﹣x2+2ax﹣2在﹣1≤x≤3有最大值6，则实数a的值是 　 　．
11．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 　 　．
12．已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，则m的值为 　 　．
三．解答题
13．已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值．
14．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，AC与BD相交于点O，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）判断AC与BD有什么位置关系，并说明理由；
（2）如果筝形的两条对角线长分别为6和8，求筝形的面积；
（3）已知筝形ABCD的对角线AC，BD满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？
15．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5）．
（1）求b，c的值；
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值；
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，请直接写出m的值．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C B C B B
二．填空题
9．【解答】解：由题意可得，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
设点E运动时间为t秒，则AE＝t cm，AH＝（5﹣t）cm，
∴S＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝52﹣4t（5﹣t）＝2（t）2．
∴当t＝2.5时，Scm2为最小值，
故答案为：．
10【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2ax﹣2的对称轴为xa，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤3内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为﹣1﹣2a﹣2＝6，
∴a，
解得：a，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜3时，
在﹣1≤x≤3内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而增大，
当a＜x≤3时，y随x的增大而减小，
则当x＝a时，y取得最大值，最大值为﹣a2+2a2﹣2＝6．
∴a＝2或x＝﹣2（舍去）．
∴a＝2．
（3）当a≥3时，
在﹣1≤x≤3内，y随x的增大而增大，
则当x＝3时，y取得最大值，最大值为﹣9+6a﹣2＝6，
∴a3，不符合题设；
综上，a或a＝2．
故答案为：或2．
11．【解答】解：y＝x2+2ax﹣3＝（x+a）2﹣3﹣a2，
当x＝﹣a时，y＝﹣3﹣a2，当x＝a时，y＝3a2﹣3，当x＝a+2时，y＝3a2+8a+1，
①当﹣a≤a≤a+2时，a≥0，
此时，当x＝a时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，
∴y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝3a2﹣3，
∴3a2+8a+1﹣（3a2﹣3），
解得a（舍去）；
②当a≤﹣a≤a+2时，﹣1≤a≤0，
a≤0时，y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝﹣3﹣a2，
∴3a2+8a+1﹣（﹣a2﹣3），
解得a（舍去）或a；
﹣1≤a时，y最大值＝3a2﹣3，y最小值＝﹣3﹣a2，
∴3a2﹣3﹣（﹣a2﹣3），
解得a（舍去）或a；
③当a≤a+2≤﹣a时，a≤﹣1，
y最小值＝3a2+8a+1，y最大值＝3a2﹣3，
∴3a2﹣3﹣（3a2+8a+1），
解得a；
综上所述，a的值为或；
故答案为：或．
12．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，取得最小值为﹣1，
①当m+2＜2时，即m＜0时，
x＝m+2时，最小值是，
∴（m+2﹣2）2﹣1＝m2﹣1，
∴或舍去），
②当m＞2时，
当x＝m时，最小值取，
∴（m﹣2）2﹣1，
∴或 （舍去），
综上所述，或．
故答案为：或．
三．解答题
13．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，取得最小值为﹣1，
①当m+2＜2时，即m＜0时，
x＝m+2时，最小值是，
∴（m+2﹣2）2﹣1＝m2﹣1，
∴或舍去），
②当m＞2时，
当x＝m时，最小值取，
∴（m﹣2）2﹣1，
∴或 （舍去），
综上所述，或．
14．【解答】解：（1）AC⊥BD，理由如下：
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴AC⊥BD；
（2）∵AC⊥BD．
∴，，
∴S筝形＝S△ADC+S△ABC
．
又∵筝形的两条对角线长分别为6，8，
∴；
（3）令AC＝x，则BD＝6﹣x，
由（1）知，
，
∵，
∴当AC＝3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为，此时BD＝6﹣3＝3．
∴当AC＝BD＝3时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是．
15．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣2，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣3m﹣3，
∴﹣m2﹣3m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
∴m＝﹣2；
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m或m（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
16．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
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