《正比例关系图象》（教案）人教版 六年级下册数学

《正比例关系图象》教学设计
一、教学目标
1、助力学生领会正比例关系图象的特性，明晰其为一条起始于（0,0）并无限延展的射线。
2、借由观察、对比、剖析等活动，使学生完整经历运用图象呈现正比例关系的流程，全方位培育观察、分析及动手实操能力。
3、促使学生体悟函数思想，深切感受从具体数据迈向图象呈现的抽象进程，切实提升运用数学知识处理实际问题的本领。
4、在合作交流环节，着力培养学生的团队协作精神与勇于探索的品质。
二、教学重难点
重点：引导学生认识正比例关系图象，深入理解图象上各点所蕴含的实际意义。让学生熟练掌握依据正比例关系图象解决简易实际问题的方法。
难点：帮助学生透彻理解正比例关系图象作为射线的本质特性，深刻体会函数思想。教导学生能够依据图象展开合理的推测与估算，充分感受图象在问题分析中的关键作用。
三、教学准备
教师需备好方格纸、直尺、多媒体课件（用于教学内容展示与练习题呈现）以及教学配套的练习题纸。
学生要准备好方格纸、直尺、铅笔。
四、教材分析
本节课建立在学生已掌握正比例意义的基础之上。正比例关系图象作为正比例关系的直观展现形式，能够更为生动形象地呈现两个变量间的变化规律。学习该内容，不但有助于学生深化对正比例意义的理解，还能使其初步领略函数思想，为后续函数知识的学习筑牢根基。教材以文具店彩带销售中数量与总价的关联为例，引领学生运用图象对数据进行呈现，接着观察图象特征，探究图象所揭示的规律，并借助图象解决实际问题。此外，教材还列举了汽车行驶路程与时间、树高与影长等多个实例，旨在让学生于不同情境中巩固对正比例关系图象的认知，切实感受数学在日常生活中的广泛应用。
五、教学过程
（一）复习导入
引导学生回顾正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
出示题目：判断下面两种量是否成正比例关系，并说明理由。
速度一定，路程和时间。
正方形的边长和面积。
学生思考后回答，教师进行点评和总结，强调判断正比例关系的关键是看两种量的比值是否一定。
（二）探索新知
呈现问题情境
教师：文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
提问：怎样更直观地反映这两个量之间的关系呢？引导学生思考并讨论，引出用图象表示的方法。
绘制图象
教师介绍在方格纸上绘制图象的方法：先确定横轴和纵轴分别表示的量（横轴表示数量，纵轴表示总价），再根据表格中的数据，在方格纸上找出对应的点（如数量为 1m 时，总价为 3.5 元，就在横轴 1 和纵轴 3.5 的交叉处描点），最后把这些点依次连接起来。
学生在方格纸上尝试绘制图象，教师巡视指导，提醒学生注意描点的准确性和连线的规范性。
观察图象，探索规律
教师引导学生观察自己绘制的图象，思考并回答问题：从图中你发现了什么？
学生观察后交流汇报，可能会发现所有的点都在同一条直线上。教师肯定学生的发现，并进一步引导学生思考：把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延长，你还能发现什么？
学生操作后回答，发现这两个点也在这条直线上，教师总结得出：正比例图象是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线。
教师提问：不计算，根据图象判断，如果买 9m 彩带，总价是多少？49 元能买多少米彩带？引导学生在图象上找到对应的点，读出相应的值，得出买 9m 彩带总价是 31.5 元，49 元能买 14m 彩带。
（三）深入探究
比较正比例图象和折线统计图
教师引导学生回顾折线统计图的特点，然后对比正比例图象和折线统计图。
教师讲解：正比例图象描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的，即射线上的点有无数个；而折线统计图描述的是一些离散的数据。通过对比，让学生更清晰地理解正比例图象的特征。
生活中的正比例关系实例
教师引导学生举例说明生活中的正比例关系，如正方形的周长与边长成正比例关系（因为正方形周长 ÷ 边长 = 4，比值一定），如果汽车行驶速度一定，路程与时间成正比例关系等。
对于汽车行驶路程与时间的例子，教师进一步引导学生进行分析：
让学生写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小，得出：80∶1 = 160∶2 = 240∶3 = 320∶4 = 400∶5 = 480∶6 = 80，比值相等。
提问：这个比值表示什么？学生回答后教师总结：这个比值表示汽车行驶的速度。
接着提问：汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？引导学生根据正比例的意义进行判断，得出汽车行驶的路程与时间成正比例关系，因为路程和时间对应的比值一定，都等于 80。
最后让学生在方格纸上描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连接起来，并估计一下行驶 120km 大约要用多长时间。学生操作后，教师进行展示和点评，得出行驶 120km 大约需要 1.5 小时。
（四）巩固练习
教师出示题目：下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。
提出问题：
①该汽车行驶路程与耗油量之间是否构成正比例关系？阐述其原因。
②若存在这样的关系，对应的图象具备怎样的特性？
③依据图象进行估算，当该汽车行驶里程达到 55km 时，耗油量大概是多少？
学生思考并解答，教师巡视指导，然后请学生汇报答案。对于第一个问题，学生通过计算比值 15∶2 = 30∶4 = 45∶6 = 75∶10 = 7.5，得出耗油量与行驶路程成正比例关系；对于第二个问题，学生回答图象是从 (0，0) 出发的一条射线；对于第三个问题，学生根据图象估计行驶 55km 的耗油量大约是 7.3L。教师对学生的回答进行评价和总结。
教师出示题目：同一时间、同一地点测得 3 棵树的树高及其影长如下表。
要求学生：
在方格纸上描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长，观察图象的特点。判断影长与树高是否成正比例关系，并说明依据。
学生完成后，教师展示学生的作品，让学生交流自己的发现和判断结果。学生发现图象是从 (0，0) 出发的一条射线，且影长和树高的比值一定（1.6÷2 = 2.4÷3 = 4.8÷6 = 0.8），所以影长与树高成正比例关系。
教师出示题目：用 n 表示自然数，把下表填写完整。
提出问题：
上表中的 2n 表示什么？在图中描点、连线，你能发现什么？
学生完成表格填写（2n 对应的数值依次为 6、8、10、12），回答 2n 表示自然数中的偶数。然后在方格纸上描点、连线，发现图象是一条从（0,0）出发的射线，2n 和 n 成正比例关系。教师对学生的回答进行肯定和补充。
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学内容：今天我们学习了正比例关系图象，知道了正比例图象是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，通过图象可以更直观地反映两个成正比例量之间的关系，还能根据图象解决一些实际问题。同时，我们还比较了正比例图象和折线统计图的不同，了解了生活中很多成正比例关系的例子。
请学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，教师对学生的表现进行评价和鼓励。
（六）巩固练习
教师出示题目：一辆轿车在公路上行驶的时间和路程的情况如下表。
提出问题：
比较几组路程与相对应时间比值的大小，说说这个比值的意义是什么？轿车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？
在方格纸上描出轿车行驶的路程与相对应时间的点，然后把这些点按顺序连接起来。
根据图象判断，这辆轿车 2.5 小时行驶多少千米？行驶 585km 需要多少小时？
学生独立完成练习，教师巡视，对有困难的学生进行个别指导。完成后，教师请学生汇报答案，进行集体订正和讲解。对于第一个问题，学生计算比值 90∶1 = 180∶2 = 270∶3 = 360∶4 = 450∶5 = 540∶6 = 90，得出比值相等，这个比值表示轿车行驶的速度；对于第二个问题，学生根据正比例的意义判断轿车行驶的路程与时间成正比例关系；对于第三个问题，教师展示学生绘制的图象，进行点评；对于第四个问题，学生通过观察图象得出这辆轿车 2.5 小时行驶 225km，行驶 585km 需要 6.5 小时。
教师出示题目：用弹簧秤称各种物品时，物品的质量与弹簧的长度变化情况如下（给出相关数据或描述）。
提出问题：
弹簧本身的长度是多少厘米？
物品的质量每增加 10g，弹簧长度就会增加多少厘米？从图上看，物品的质量和弹簧伸长长度成什么比例关系？
用这个弹簧秤称 80g 的物品时，弹簧的长度是多少厘米？
学生思考并解答，教师引导学生分析问题，得出弹簧本身的长度是 10cm，物品的质量每增加 10g，弹簧长度增加 2cm，物品的质量和弹簧伸长长度成正比例关系，称 80g 物品时弹簧的长度是 26cm。教师对学生的回答进行评价和总结。