江苏省锡山高级中学2024-2025学年高三下学期2月综合练习数学试卷（含答案）

2025届高三2月综合练习
数学
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现从甲袋中任取1个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球.再从乙袋中随机取出1个球，用事件B表示从乙袋中取出的是白球，则（ ）
A ，互斥 B. 与B相互独立 C. D.
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若在上的值域为，则的取值范围是
B. 若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若在上有且只有两个不同零点，则的取值范围是
11. 已知数列a，b，c，d，前三项a，b，c成等差数列，且公差不为0，后三项b，c，d成等比数列，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当，时，或
D. ，，，可能成等比数列
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的展开式中项的系数为30，则______．
13. 写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程__________.
14. 已知函数，则的解集为__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若为中点，，，求的周长.
16. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.
（i）试写出，，的值；
（ii）求数列的前20项和.
17. 如图所示，长方体中，，，为棱上的一个动点，三棱锥体积的最大值为
（1）求的长；
（2）若二面角是二面角的三倍，求的长
18. 已知曲线在处的切线过点.
（1）试求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左 右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点.
（1）若，求点的坐标；
（2）若面积为，求直线的方程；
（3）设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
2025届高三2月综合练习
数学
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
2. C
3. A.
4. D.
5. D.
6. A.
7. A．
8.C
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AC
10. ACD
11. ACD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ##
13.（或 ，两者填一个即可）
14.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）解法1：
由题意，得
则
所以
因为在中，，
所以.
解法2：
由题意，得，
所以，
因此
因为，所以.
解法3：
由题意，得
所以由射影定理，得
因为，所以.
（2）
解法1：
由已知条件，得.
在利用余弦定理，得.
所以
由余弦定理，得，
所以.
因此
所以的周长为.
解法2：
因为，
所以.
因此，
所以
又由余弦定理，得，
所以
因此，
所以的周长为.
解法3：
以的边，为邻边将补成平行四边形，
利用平行四边形长度关系可得，，
所以.
又由余弦定理，得，
所以
因此，
所以的周长为.
解法4：
利用向量关系，可得
因此
又由余弦定理，得，
所以
因此，
所以的周长为.
解法5：
在和分别利用余弦定理，可得
.
所以
又由余弦定理，得，
所以
因此
所以的周长为.
16. （1）设的公差为，
令，得，故即，
令，得，故，即，
由于，则解得，
故，
（2）
（i）当，故，
时，，
所以，
（ii）由题意可知：，
当时，，则，
当，，则，，
当，，则，，
所以
,
因此
17. （1）
设，
则
，
当三棱锥的体积最大时，，即点与点重合时，
，
因此的长为
（2）
由题意，直线彼此垂直，
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，设平面的一个法向量为
不妨设得，
则，设平面的一个法向量为，
不妨设，
则，设平面的一个法向量为，
则不妨令
则平面的一个法向量为
则二面角的余弦值等于，
则二面角的余弦值等于
，
二面角是二面角的三倍，
即二面角是二面角的两倍
由二倍角公式，
即，
因此的长为
18. （1）函数，求导得，则，而，
因此曲线在处的切线方程为，即，
依题意，，所以则.
（2）
由（1）知函数，其定义域，求导得，
当时，在上单调递减；
当时，由，得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）
由（2）得，
要证明，即证，即证，
令，求导得，
由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即恒成立，
所以当时，.
19. （1）已知，设点，
可得，可得，
则，
所以，解得，
可得，
即或
（2）
设直线的方程为，，
联立并整理可得，
所以，
易知的面积为
，
解得，即；
所以直线的方程为或.
（3）
根据题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，则，如下图所示：
易知，两式相减可得；
由，所以可得，
即，又，可得；
即，
联立整理可得，
，可得；
可得；
所以，
整理可得，即；
易知
；
原点到直线的距离为，
所以的面积为；
所以的面积为定值，该定值为.