6.1 现实中的变量 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
6.1 现实中的变量
第六章 变量之间的关系
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.
开始制动
完全停止
汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.
思考 (1)这个情境中有哪些量
(1)制动初速度，制动距离.
知识点1 变量和常量
知识点1 变量和常量
汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离.
思考 (2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗
(2)会.
(3)下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗
知识点1 变量和常量
(3)制动距离随制动初速度的增大而增大.
制动初速度 v/(km/h) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
制动距离 s/m 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36
探究 1.某海域海水的压强p(单位:Pa)与水深h(单位:m)之间的关系满足:p=9.8ρh(其中ρ为海水的密度，通常为1.03×103kg/m3).
(1)这个情境中有哪些量
(2)随着水深h的变化，其他量会发生变化吗
(1)海水的压强p，水深h，海水的密度ρ.
(2)随着水深h的变化，海水的压强p会发生变化，海水的密度ρ不会发生变化.
知识点1 变量和常量
探究 2.下图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况.
知识点1 变量和常量
棚内温度
温度/℃
时间
棚外温度
50
40
30
20
10
0
(1)这个情境中有哪些量
(1)时间，棚内温度，棚外温度.
知识点1 变量和常量
棚内温度
温度/℃
时间
棚外温度
50
40
30
20
10
0
(2)你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗 棚外温度呢
知识点1 变量和常量
(2)这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化先降低后升高，再降低再升高.
棚外温度随时间的变化先降低再升高再降低.
(3)你还有哪些发现
知识点1 变量和常量
(3)答案不唯一，这个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00棚内温度一直比棚外温度高.
变量和常量:
在变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.
知识点1 变量和常量
上面情境中有许多变化的量，
如制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量.
你能举个常量的例子吗？
变量和常量:
在变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.
知识点1 变量和常量
一定海域内，在海水的压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变.
像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量.
知识点1 变量和常量
变量与常量是相对于某个变化过程而言的.
当变化过程改变时，其中的变量与常量也可能随之改变.
例如：对于s=vt，当v不变时，v为常量，s，t为变量；
当t不变时，t为常量，s，v为变量.
例1 如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB固定不动，木条AC自由转动至AC′的位置.在转动过程中，下面的量是常量的为( )
A.∠BAC的度数 B.BC的长度
C.△ABC的面积 D.AC的长度
解析:木条AC绕点A自由转动至AC′的过程中， ∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量.
AC的长度始终不变，故AC的长度是常量.
D
知识点1 变量和常量
自变量和因变量:
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是自变量，y是因变量.
知识点2 自变量和因变量
回顾刚刚的问题，你能辨别其中的自变量和因变量吗？
上面情境中制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等变量.
制动距离随制动初速度的变化而变化，
海水的压强随水深的变化而变化，
棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化.
知识点2 自变量和因变量
自变量
因变量
自变量
因变量
自变量
因变量
自变量与因变量的区别与联系
知识点2 自变量和因变量
自变量 因变量
区别
联系
先发生变化或主动发生变化的量.
随着自变量的变化而变化的量.
①两者都是某一变化过程中的变量；
②两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化.
例2 下列情境中有哪些变量 其中，哪个是自变量，哪个是因变量
地表以下岩层的温度y(单位:℃)随所处深度x(单位:km)的变化而变化，在某地y与x之间的关系可以近似地表示为y=35x+20.
知识点2 自变量和因变量
解:变量:地表以下岩层的温度y，所处深度x.
其中，x是自变量，y是因变量.
知识点2 自变量和因变量
跟踪训练 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化,在这个变化过程中,自变量是( )
A.热水器里的水温
B.太阳光的强弱
C.热水器的容积
D.太阳照射时间的长短
D
1. 浩浩想要给妈妈调制一杯糖水，先往
杯子中装了一定质量的糖，然后向杯子中加入水，随着水量
的增加，糖水的浓度逐渐降低，这个变化过程中的常量和变
量分别是( )
A
A. 糖的质量，糖水的浓度 B. 杯子的质量，糖的质量
C. 水的体积，糖水的浓度 D. 糖水的浓度，糖的质量
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2. 2024年11月15日，搭载天舟八号货运
飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火
发射，发射任务取得圆满成功.在升天过程中，燃料的体积随
火箭飞行高度的增加而减少，则在上述语段中，自变量是
( )
B
A. 货运飞船的质量 B. 火箭飞行的高度
C. 燃料的体积 D. 火箭的质量
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3. 教材P146随堂练习 下列情境中有哪些变量？其
中，哪个是自变量？哪个是因变量？
（1）当一辆汽车以 的速度向前匀速直线行驶时，汽
车行驶的路程与行驶时间之间的关系式为 .
【解】汽车行驶的路程与行驶时间为变量，其中行驶时间
为自变量，行驶的路程 为因变量.
（2）已知小红家用电量与应缴电费之间的关系如下表：
用电量/度 1 2 3 4 …
应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 …
【解】小红家用电量与应缴电费为变量，其中用电量为自
变量，应缴电费为因变量.
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4. [2024青岛市南区期中] 用一定长度的铁丝围成一个长方形，
则有下列说法：
①长方形的长和宽是两个变量；②长方形的周长是自变量时，
它的宽是因变量；③长方形的长是自变量时，它的宽是因变
量；④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量；⑤长方形
的长是自变量时，它的面积是因变量.其中正确的说法有
( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【点拨】铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，长和宽均
可改变，是两个变量，所以①正确；长方形的周长一定，是
常量，所以②不正确；长方形的周长一定，它的宽会随长的
改变而改变，所以③正确；长方形的周长一定，它的长会随
宽的改变而改变，所以④正确；长方形的周长一定，当它的
长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改变，所以
⑤正确.
综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤.
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5. [2024唐山期中] 如图，把两根木条的一
端用螺栓固定在一起，木条可自由转动.在转
动的过程中，下面的量是常量的为( )
B
A. 的度数 B. 的长度
C. 的长度 D. 的面积
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6.[2024阜阳期中] 声音在空气中传播的速度 与气温
有一定的关系，下表列出了一组不同气温时的音速.
气温 0 5 10 15 20
音速 331 334 337 340 343
（1）在这种变化中，音速随气温的变化而变化，______是
自变量，______是因变量；
气温
音速
（2）除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放 后，才听
到其声响，估计小天离燃放烟花的地方有多远.
【解】由题意可知，气温是时，音速为 ，则小天
离燃放烟花的地方有 .
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现实中的变量
在变化过程中，数值始终不变的量
自变量：主动变化的量
因变量：随着自变量的变化而变化的量
定义:在变化过程中，数值发生变化的量
变量
常量
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.