6.3 用关系式表示变量之间的关系 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
6.3 用关系式表示变量之间的关系
第六章 变量之间的关系
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，发展模型观念.
2.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
A
B
C
C
C
C
思考
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
自变量:三角形的底边长，
因变量:三角形的面积
当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的
当底边长减小时，三角形的面积也减小.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
A
B
C
C
C
C
(2)如果三角形的底边长为 x(单位：cm) ，那么三角形的面积 y(单位：cm2)可以表示为 ．
(3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，
面积y的值能确定吗
(3)取定一个底边x的值，面积y的值能确定.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
y=3x
A
B
C
C
C
C
如图，△ABC底边BC上的高是6cm．当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫作关系式法.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
“y=3x”表示了三角形面积和三角形底边长之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.
关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式(因变量写到等号的左边).
求两个变量之间关系式的常见类型：
(1)利用公式写出变量之间的关系式，如三角形的面积公式；
(2)根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
(3)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
圆锥的底面半径的长度是自变量，
圆锥的体积是因变量.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？
底面半径增大时，圆锥的体积也增大.
如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(2)如果圆锥的底面半径为r(单位：cm)，那么圆锥的体积V(单位：cm3)如何表示
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
V=πr2
如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(3)在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定.
通过探究，你认为关系式法有什么优缺点？
用关系式表示两个变量之间关系的优缺点
优点:能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数值关系，便于分析计算；
缺点:需要计算，不直观，只能反映规律性较强的变量间的关系，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
例1 如图，在一块长方形钢板上，截下两个完全相同的半圆，设阴影部分的面积为S(cm2)，半圆的直径为a cm.
(1)指出其中的自变量与因变量；
(2)求S与a的关系式，并求a＝10cm时阴影部分的面积(结果保留π).
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
解：(1)因为半圆的直径发生变化，阴影部分的面积随之发生变化，所以半圆的直径是自变量，阴影部分的面积是因变量．
(2)S＝长方形的面积－2个半圆的面积
＝60×20－2×π·()2＝1 200－.
所以 S与a的关系式为S＝1 200－.
当a＝10 cm时，S＝1 200－ ＝(1 200－25π) （cm2）．
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
跟踪训练 变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2时，因变量y的值是( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
C
尝试 你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位：kW · h)×0.785
开私家车（燃油车） 耗油量(单位：L)×2.7
家用天然气 用气量(单位：m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位：m3)×0.91
家居用电的二氧化碳排放量(kg)＝用电量(kW · h)×0.785
(1)请用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式，其中的字母表示什么？
(2)随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的
(2)用电量每增加1 kw·h，二氧化碳排放量就增加0.785 kg.
(3)当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量为多少？
(3)把x=100代入y=0.785x，解得y=78.5，即二氧化碳排放量为78.5 kg.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
（1）y=0.785x，其中y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示用电量.
(4)小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油 75L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和.
(4)110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=297.2(kg)，
故小明家这几项的二氧化碳排放量总和为297.2 kg.
知识点 用关系式表示两个变量之间的关系
二氧化碳排放量/kg 计算公式
家居用电 用电量(单位：kW · h)×0.785
开私家车（燃油车） 耗油量(单位：L)×2.7
家用天然气 用气量(单位：m3)×0.19
家用自来水 用水量(单位：m3)×0.91
1. [2024唐山期中] 若等腰三角形的周长为20，则底边长 与
腰长 之间的关系式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. [2024枣庄期末] 对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有
的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度 有如
下的对应关系：
摄氏温度 … 0 10 20 30 …
华氏温度 … 14 32 50 68 86 …
由表中数据可知华氏温度与摄氏温度 的关系式是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.[2024达州期中] 某型号的签字笔每支2.5元，小涵同学拿
100元钱去购买了支该型号的签字笔，则剩余的钱
（元）与 （支）的关系式是________________________.
4.某地区现有果树24 000棵，计划今后每年栽果树3 000棵.
（1）用含年数（年）的式子表示果树总棵数 （棵）为
____________________；
（2）预计到第5年该地区有________棵果树.
39 000
返回
5.根据如图所示的计算程序计算的对应值，若输入的值为 ，
则输出的结果为____.
返回
6.[2024榆林期中] 某校准备在校园围墙一角用篱笆围一个长
方形的小花园，已知长方形小花园的长为8米，宽为 米，当
长方形小花园的宽由小到大变化时，长方形的面积
（平方米）也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
【解】在这个变化过程中，自变量是长方形小花园的宽，因
变量是长方形小花园的面积.
（2）求长方形小花园的面积（平方米）与宽 （米）之间
的关系式，并说明当长方形小花园的宽每增加1米时，长方
形小花园的面积如何变化？
【解】根据题意可知长方形小花园的面积（平方米）与
宽 （米）之间的关系式为 ，当长方形小花园的宽
每增加1米时，长方形小花园的面积增加8平方米.
（3）当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花
园的面积增加了多少平方米？
（平方米）.
所以，当长方形小花园的宽由3米增加到6米时，长方形小花
园的面积增加了24平方米.
返回
7.某市出租车收费标准如下：以内含 收费8元；超
过 的部分每千米收费1.6元.
（1）写出应收费（元）与出租车行驶路线 之间的关
系式其中 .
【解】根据题意可得 ，
即 .
（2）小亮乘出租车行驶 ，应付多少元？
当时， .
所以小亮乘出租车行驶 ,应付9.6元.
（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
【解】因为，所以出租车行驶超过.
所以当 时，
，
解得 .
所以出租车行驶了 .
返回
8. 激光测距仪发出的激光束以
的速度射向目标，后测距仪收到 反射回的激光束，则
到的距离与时间 的关系式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
9. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，
根据此规律，最后一个三角形中与 之间的关系是( )
B
A. B.
C. D.
返回
能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数值关系，便于分析计算
需要计算，不直观，只能反映规律性较强的变量间的关系，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来
两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫作关系式法
优点
缺点
用关系式表示变量之间的关系
根据关系式求值
关系式法
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.