(共30张PPT)
6.4 用图象表示变量之间的关系
（第1课时）
第六章 变量之间的关系
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能用图象表示变量之间的关系，理解图象上的点所表示的意义.
2.能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变量与因变量之间的关系？
列表格与列关系式两种方法.
思考
气温的变化是人们经常谈论的话题.请你根据下图，探讨某地某天气温变化的情况.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
时间
气温/℃
(1)你能描述该地这一天气温的变化情况吗 在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(1)该地这一天气温先下降又上升再下降.
在0:00~3:00，15:00~24:00气温下降，在3:00~15:00气温上升.
(2)该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的 最高气温呢 这一天的温差是多少
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(2)该地这一天的最低气温是23℃，是在3:00时达到的；
最高气温是37 ℃，是在15:00时达到的.
这一天的温差是37-23=14(℃).
(3)图中的 A点表示什么 B点呢
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(3)图中的A点表示21:00时的气温为31℃，
B点表示0:00时的气温为26 ℃.
(4)你预测该地这一天次日凌晨1:00的气温是多少 说说你的理由.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(4)该地这一天次日凌晨1:00的气温约是24℃.
理由:可以根据前一天凌晨1:00的温度情况对次日凌晨1:00的温度进行预测.
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
右图表示了气温随着时间的变化而变化的情况，
它是气温与时间之间关系的图象.
通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
用图象法表示两个变量间关系的优缺点
优点:能直观、形象地反映变量间的变化情况并预测变化趋势；
缺点:只能反映变量间的部分关系，且难以得到准确的对应值.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
注意： (1)在利用图象解决问题时，一定要分清横轴和纵轴分别表示哪个变量.
(2)横轴与纵轴的单位长度不一定相同.
思考 下图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况.观察图象，回答下列问题:
1
2
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日出时间
月份
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日落时间
月份
(1)你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
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日落时间
月份
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(1)随着月份的增加，这一年此地日出时间先变早后变晚，
日落时间先变晚后变早最后略微变晚.
思考 下图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况.观察图象，回答下列问题:
(2)这一年日出时间最早大约是什么时候 最晚呢 日落时间呢
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
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日落时间
月份
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
(2)这一年日出时间最早大约在6月份，最晚大约在12月份.
日落时间最早大约在12月份，最晚大约在6或7月份.
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要从图象中获取信息，我们必须结合具体情境理解图象上的点所表示的意义.
理解图象上某一个点的意义，要注意以下两点:
(1)看横轴、纵轴分别表示哪个变量；
(2)看该点所在的水平方向、竖直方向的位置.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
利用图象可以判断因变量的变化趋势。如图，
①图象自左向右上升时，说明因变量随着自变量的增大而增大；
②图象与横轴平行时，说明因变量随着自变量的增大而保持不变
③图象自左向右下降时，说明因变量随着自变量的增大而减小.
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
例1 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，如图所示，下列说法正确的是( )
A.一天中，8时至24时骆驼的体温的变
化范围是37 ℃至40 ℃
B.点A表示的是12时骆驼的体温是39℃
C.0时至16时骆驼体温一直上升
D.骆驼第一天12时的体温与次日12时和
20时的体温相同
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
B
知识点 用图象表示两个变量之间的关系
跟踪训练 下面是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：
(1)护士每隔几小时给病人量一次体温？
(2)图中的虚线表示什么？
(3)从图中看，这位病人的病情是恶化还是好转？
解:
(1)护士每隔6小时给病人量一次体温.
(2)图中的虚线表示正常体温.
(3)从图中看，这位病人的病情是好转了.
1. [2024江西] 将常温中的温度计插入一杯 的热水
（恒温）中，温度计的读数与时间 的关系用图象
可近似表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 在某学校科技节的开幕式上，“编程”学习小组的学
员给同学们带来了一组无人机表演，无人机根据预先设计的方案在空中
组成不同的图案.如图，曲线表示“1号机” 在 的时间内离地面的飞行
高度随飞行时间 的变化情况，下列说法错误的是 ( )
D
（第2题）
A. 最初的高度为
B. 时的高度和 时的高度相同
C. 时达到最高高度，为
D. 到之间，飞行高度 持续上升
返回
（第3题）
3.蛇的体温随外部环境温度的变
化而变化，如图表示的是一条
蛇在两昼夜之间体温的变化情
况，结合图象，回答下列问题：
（1）第一天，蛇体温的变化范
围是____________；它的体温
从最低上升到最高需要______；
（2）第一天，时间在___________范围内蛇的体温是上升的；
在______________________范围内蛇的体温是下降的.
4时时
0时时，16时时
（第3题）
返回
4. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，
则水深与注水量 的关系的大致图象是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.[2024烟台期末] 某双休日，姐妹俩在社区公园里面荡秋千，
若秋千离地面的高度与摆动时间 之间的关系如图所
示，结合图象，解答下列问题：
（1）指出变量， 中的自变
量、因变量，求出 的最大值
和最小值相差多少；
【解】由题图可知，自变量为
，因变量为 ，
的最大值为，最小值为 ，
所以，即 的最大值和最小值相差1.
（2）当时，根据图象写出 的值，除此之外，并指出
与之高度相同的次数；
【解】当时， ，
除此之外，与之高度相同的次数是7.
（3）请写出秋千摆动第一个来回的时间.
【解】秋千摆动第一个来回的时间为 .
返回
用图象表示变量之间的关系
从图象中获取信息
能直观、形象地反映变量间的变化情况并预测变化趋势
只能反映变量间的部分关系，且难以得到准确的对应值
用图象来表示两个变量之间关系的方法
优点
应用
图象法
缺点
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.(共30张PPT)
6.4 用图象表示变量之间的关系
（第2课时）
第六章 变量之间的关系
北师大版（2024）数学七年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能从图象分析变量之间的关系，速度与时间之间的关系，距离(路程)与时间之间的关系.
2.能从图象中获取变量之间关系的信息.
幂的乘方教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解幂的乘方的运算法则。
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
过程与方法目标
通过对幂的乘方运算法则的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的归纳思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点
重点
幂的乘方运算法则的理解与掌握。
运用幂的乘方运算法则进行准确计算。
难点
幂的乘方运算法则的推导过程及灵活运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习引入（5 分钟）
提问学生同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），并举例让学生计算，如\(2^3×2^4\)。
引出本节课主题：在幂的运算中，还有一种常见的形式，即幂的乘方，如\((a^m)^n\)，这就是我们今天要学习的内容。
（二）探究新知（20 分钟）
计算以下式子：
\((2^3)^2\)，引导学生根据乘方的意义展开：\(2^3×2^3 = 2^{3 + 3} = 2^6\)。
\((3^2)^4\)，同样根据乘方意义展开：\(3^2×3^2×3^2×3^2 = 3^{2 + 2 + 2 + 2} = 3^8\)。
让学生观察这两个式子的计算过程和结果，提出问题：从这些计算中，你能发现幂的乘方有什么规律吗？
引导学生归纳出幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数）。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
对法则进行推导：
根据乘方的意义，\((a^m)^n\)表示\(n\)个\(a^m\)相乘，即\((a^m)^n = a^m×a^m×···×a^m\)（\(n\)个\(a^m\)）。
再根据同底数幂的乘法法则，\(a^m×a^m×···×a^m = a^{m + m + ··· + m}\)（\(n\)个\(m\)相加）。
而\(n\)个\(m\)相加等于\(mn
\)，所以\((a^m)^n = a^{mn}\)。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((10^3)^5\)
解：根据幂的乘方运算法则，\((10^3)^5 = 10^{3×5} = 10^{15}\)。
例 2：计算\((a^4)^3\)
解：\((a^4)^3 = a^{4×3} = a^{12}\)。
例 3：计算\([(-2)^3]^4\)
解：\([(-2)^3]^4 = (-2)^{3×4} = (-2)^{12} = 2^{12}\)（负数的偶次幂是正数）。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算：
\((5^2)^3\)
\((a^3)^4\)
\([( - 3)^2]^5\)
\((x^m)^5\)（\(m\)为正整数）
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾幂的乘方运算法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)都是正整数），强调底数不变，指数相乘。
总结幂的乘方运算法则的推导过程和应用时的注意事项。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题中关于幂的乘方的相关题目。
拓展题：已知\(a^m = 3\)，\(a^n = 2\)，求\((a^{2m})^3\)和\((a^{3n})^2\)的值。
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课堂检测
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新知讲解
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变式训练
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中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度，你会看这个表吗
思考 汽车在行驶过程中，速度往往是变化的.下图表示一辆汽车某次行程中24min内的速度情况.
(1)你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
0
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12
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20
24
90
60
30
时间/min
速度/（km/h）
(1)速度在出发后的2 min内增加至30 km/h，
然后在出发后的第2到6 min内保持不变，
在出发后的第6到8 min内减小至0 km/h，
在出发后的第8到10 min内保持不变，
在出发后的第10到18 min内增加至90 km/h，
在出发后的第18到22 min内保持不变，
最后在出发后的第22到24 min内减小至0 km/h.
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
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时间/min
速度/（km/h）
(2)这辆汽车在哪些时间段保持匀速行驶 速度分别是多少
(2)在出发后的第2 min到6 min、18 min到22 min这些时间段汽车保持匀速行驶，速度分别是30 km/h和90 km/h.
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
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时间/min
速度/（km/h）
速度不变
(3)这辆汽车出发后8min到10min之间可能发生了什么情况
(3)答案不唯一，如司机停车休息.
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
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时间/min
速度/（km/h）
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
尝试 在上面的情境中，假设这辆汽车出发后8min到12min静止不动，然后用6min加速到90km/h，再用6min减速到静止.
你能在图中画图大致反映这辆汽车的速度随着时间的变化而变化的情况吗
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时间/min
速度/（km/h）
识图关键:弄清图象上点的意义.
找准关键点:注意图象的起点、终点、最高点、最低点、拐点等特殊位置，并弄清这些点所表示的意义.
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
例1 柿子熟了，从树上落下来.下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中(即落地前)的速度变化情况
(1) (2) (3) (4)
解析:因为柿子在下落过程中的速度越来越快，所以只有(3)可以大致刻画出柿子下落过程中(即落地前)的速度变化情况.
根据速度与时间之间的关系图象解决问题时，关键是要正确理解图象中各段的意义.
(1)横轴表示时间，纵轴表示速度；
(2)线段OA从左到右是上升的，表示速度在
增加，即物体从0(点O处)开始做加速运动；
(3)线段AB是水平的，表示物体做匀速运动；
(4)线段BC从左到右是下降的，表示速度在减小，即物体做减速运动，直到速度为0(点C处).
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
速度与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度变化的快慢，
越平缓表示速度变化越慢，越陡表示速度变化越快.
知识点1 用图象表示速度和时间的关系
根据如图所示的离起点的距离与时间的关系图象，可以得到如下信息:
(1)横轴表示时间，纵轴表示离起点的距离；
(2)线段OA从左到右是上升的，表示物体
离起点越来越远，且是匀速运动；
(3)线段AB是水平的，表示物体离起点的距离不变，即物体静止；
(4)线段BC从左到右是下降的，表示物体离起点越来越近(反向运动)，直到回到起点，且是匀速运动.
知识点2 用图象表示距离（路程）和时间的关系
在距离(路程)与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度的大小，越陡表示速度越大，越乎缓表示速度越小.
知识点2 用图象表示距离（路程）和时间的关系
跟踪训练 小强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度.在登山过程中，他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是( )
知识点2 用图象表示距离（路程）和时间的关系
分析：匀速登上山顶， s随t的增加而增加，图象过原点，且是上升的；
原地休息一段时间，s随t的增加而保持不变，图象与t轴平行；
匀速下山(上山的速度小于下山的速度)，s随t的增加而增加，并且s增加得更快，图象呈上升趋势，并且更陡.
知识点2 用图象表示距离（路程）和时间的关系
跟踪训练 小强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度.在登山过程中，他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是( )
B
知识点2 用图象表示距离（路程）和时间的关系
1小明和哥哥从家里出发去买书，
从家出发走了到一个离家 的书店.小明买了书后
随即按原路返回；哥哥看了书后，用 返回家中.下
面的图象中表示哥哥离家的时间与距离之间的关系的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 均匀地向一个容器注水，最后把容器
注满.在注水过程中，水面高度随时间
的变化规律如图所示（图中 为一
折线），这个容器的形状可以是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. [2024济宁期末] 小星一家驾车前往某景点旅游，在行驶过
程中，汽车离景点的路程与所用时间 之间的函数
关系的图象如图所示，下列说法正确的是( )
D
（第3题）
A. 小星家离景点的路程为
B. 小星从家出发的平均速度为
C. 小星从家出发离景点的路程为
D. 小星从家到景点共用了
（第3题）
【点拨】根据图象可知，小星家离景点的
路程为 ，所以A说法不正确，故不
符合题意； ，
小星从家出发的平均速度为 ，
所以B说法不正确，故不符合题意；
由图象可得，小星从家出发 离景点的路
程为 ，所以C说法不正确，故不符合题意；
， ，
所以D说法正确，故符合题意.
返回
4. [2024枣庄薛城区期末] 地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时
也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时
开挖两条 长的隧道，所挖隧道长度与挖掘时间 （天）之间
的关系如图所示，现有下列说法：
①甲队每天挖 ；②乙队开挖2天后，每天挖 ；
③甲队比乙队提前2天完成任务；④当或 时，甲、
乙两队所挖隧道长度都相差 ．
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
【点拨】①根据题中函数图象，得甲队每天
挖 ，故①正确；
②根据题中函数图象，得乙队开挖2天后，
每天挖 ，故
②正确；
③乙队完成任务的时间为 （天）,
（天），
所以甲队比乙队提前2天完成任务，故③正
确；
④当 时，甲队所挖隧道的长度为
，乙队所挖隧道长度为
；
当时，甲队所挖隧道的长度为 ，
乙队所挖隧道的长度为，所以当
或 时，甲、乙两队所挖隧道长度都相
差 ，故④正确，故选D.
返回
5.[2024宿州月考] 哥哥从家里骑自行车出发，
去超市途中遇到妹妹从超市走路回家，哥哥
在超市买完东西后以原先速度骑车回家，在
（1）家与超市相距___ .
8
回去的路上又遇到了妹妹，便载妹妹一起回家，结果哥哥比
按原先速度回家的时间晚了，二人离超市的距离
和哥哥从家出发后的时间 之间的关系如图所示
（假设二人交流时间忽略不计）.
（2）哥哥和妹妹第1次相遇时离超
市的距离是多少？
【解】由题图可得，哥哥骑车的速
度为 ，
根据题图知，相遇时间为 ，
所以 ，
即哥哥和妹妹第1次相遇时离超市的
距离是 .
（3）哥哥从家里出发到回家所用的时间是多少？
【解】由题意得 .
所以哥哥从家里出发到回家所用的时间是 .
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用图象表示距离(路程)与时间之间的关系
用图象表示速度与时间之间的关系
用图象表示变量之间的关系
应用
谢谢观看！
◆懂得学习的人不如喜爱学习的人，喜爱学习的人不如以学习为乐的人.
