2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省天一中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若空间向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线：上点的纵坐标为，则到的焦点的距离为( )
A. B. C. D.
3.若圆：与圆：只有一个公共点，则的值( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.已知是单调递增的等比数列，且，，则公比的值是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知原点为，椭圆：与直线：交于，两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 直线过定点 B. 圆的半径为
C. 当时， D. 圆心到直线的最大距离是
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 已知，，则点到直线的距离为
C. 若对空间中任意一点有，则，，，四点共面
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11.数列满足，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点，且到坐标原点的距离为，则______．
13.已知实数，满足，则的取值范围为______．
14.已知数列满足，，则的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为等差数列的前项和已知，．
求的通项公式．
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线方程；
若，为坐标原点，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，、分别在棱、上，为线段的中点．
若是的中点，求与平面所成角的正弦值；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
设数列的首项为常数，且
判断数列是否为等比数列，请说明理由；
是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围．
19.本小题分
如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，、为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点．
求双曲线的方程；
若点在第一象限，且满足，求直线的方程；
探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，
由题意得
解得，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为，．
由知，，
所以．
设数列的前项和为，
则
．
16.解：抛物线：的焦点为，
令，
解得：，
，
解得：，
抛物线的方程为：；
依题意．设直线方程为，
设，，
则，
得，，
又恒成立．
，
则．
得，
则直线方程为，
则点到直线的距离为，
即的面积．
17.解：因为底面是正方形，为线段的中点，侧棱底面，
以为原点，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系；
则，，，，
由题意，是的中点，则，
故，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得；
记与平面所成角为，
则，
故EF与平面所成角的正弦值为．
，
故，
故DE；又，，平面，
平面，
故平面，
故平面的法向量，
平面的法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：，
则时，，
时，为等比数列，公比为．
由可得：，
，
，，，
．
19.解：因为点在双曲线上，且渐近线方程为，
所以，
解得，
则；
设点，
因为，
所以点是的中点，
又，，
可得，
因为点在直线上，
所以，
解得，
将代入双曲线方程中，
解得，
因为点在第一象限，
所以，，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，
即，
所以直线的方程为；
易知直线斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
此时，
直线的方程为，
令，
解得，
即，
因为，，三点共线，
所以，
因为，
所以，
即，
因为，，
所以，
因为，
所以，
整理得，
即，
此时，
因为点，是双曲线右支上的动点，
所以不能恒为，
所以，
则直线的方程为．
故直线必过定点．
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