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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§4.1因式分解
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、，是因式分解，符合题意；
D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解；
故选C．
2．（本题3分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意；
故选D．
3．（本题3分）下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解A、x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，故选项错误；
B、结果不是乘积的形式，故选项错误；
C、x2+y2≠(x+y)2，故选项错误；
D、6a-9-a2=-(a2-6a+9)=-(a-3)2，故选项正确．
故选D
4．（本题3分）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
解：，
，
，
，
故选：A．
5．（本题3分）观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( )
A．962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200
B．962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200
C．962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200
D．962×95+962×5＝91390+4810＝96200
解：计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，故选A.
6．（本题3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
解：根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是.其他不是因式分解:A,C右边不是积的形式，B左边不是多项式.
故选D.
7．（本题3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．（本题3分）在下面的多项式中，能因式分解的是( )
A．m2+n B．m2-m-1 C．m2-m+1 D．m2-2m+1
解：四个选项中A,B,C均不能因式分解,
其中D项, m2-2m+1=（m-1）2,
故选D.
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）把一个多项式分解成几个 的形式叫做分解因式．
【答案】整式乘积
10．（本题3分）分解因式： =6xy( )
解 =6xy（）.
11．（本题3分）下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
12．（本题3分）a(x-2a)+a(2a-x) = .
解：因为a2(x-2a)2+a(2a-x)3=a2(x-2a)2-a(x-2a)3=a(x-2a)2[a-(x-2a)]=a(x-2a)2(3a-x).
故答案为a(x-2a)2(3a-x).
13．（本题3分）若是多项式的一个因式，则 ．
解：设多项式的另一个因式是，
∴，
∴，，即，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
15．（本题7分）因式分解：（1）；（2）
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
16．（本题8分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
17．（本题9分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
∴，解得：，，
∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得：
，
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，的值为．
18．（本题9分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
（1）解：设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
∴另一个因式为：，的值为40．
（2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴另一个因式为，k的值为．
19．（本题10分）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
解（1）
（2）
【拓展应用】
∵，，
代入得：原式=．
20．（本题12分）【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，
恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，
解得，
．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则________；
(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．
解（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设多项式另一个因式为，
则
，，，
，，
，即另一个式子为：．
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§4.1因式分解
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）下列变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）若多项式因式分解的结果为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（本题3分）观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( )
A．962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200
B．962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200
C．962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200
D．962×95+962×5＝91390+4810＝96200
6．（本题3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
7．（本题3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）在下面的多项式中，能因式分解的是( )
A．m2+n B．m2-m-1 C．m2-m+1 D．m2-2m+1
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）把一个多项式分解成几个 的形式叫做分解因式．
10．（本题3分）分解因式： =6xy( )
11．（本题3分）下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
12．（本题3分）a(x-2a)+a(2a-x) = .
13．（本题3分）若是多项式的一个因式，则 ．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
15．（本题7分）因式分解：（1）；（2）
16．（本题8分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
17．（本题9分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
18．（本题9分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，则，即，∴，解得．故另一个因式为，m的值为-21．
仿照上面的方法解答下面问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，则______；
(2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
19．（本题10分）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
20．（本题12分）【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，
恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，
解得，
．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则________；
(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．
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