第三章圆随堂测试卷（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第三章圆随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，为的直径，B，D为上的点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（）
A． B． C．8 D．4
6．如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（）
A． B．
C．点关于的对称点在上 D．
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留）
10．如图，正五边形内接于，则 ．
11．如图是的两条切线，切点分别为A，B，，，图中阴影部分的周长为 （结果保留π）．
12．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 ．
13．如图，正六边形内接于，则的度数为 ．
14．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为 ．
15．如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．如图，点C在以为直径的上，点D是弧的中点，过点B作切线交延长线于点F，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
17．如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：．
18．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
19．如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
20．太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)求弧的长及图中阴影部分的面积之和．
22．【问题发现】
如图①，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值．
理由如下：如图②，取的中点，连结，
在中，，点是斜边的中点，
∴，
∴，
∴点、、在以点为圆心，为半径的上．
即为的外接圆，其半径为．
【深入探究】
在【问题发现】的条件下，连结，线段的长为_____，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为_________；
【类比运用】
如图③，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．
(1)设的外接圆圆心为点，半径为，请判断在矩形移动过程中的值是否发生变化，若不变，请求出的值，若变化，请说明理由；
(2)直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值．
《第三章圆随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D D A D B B
1．A
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，平角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图所示，连接，根据圆周角定理得，根据圆周角定理的推论得，最后利用平角的性质即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，
，
，
，
，
故选：A．
2．A
【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
由，分别为的切线，根据切线长定理得到，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角的度数，求出底角的度数，又为圆的直径，根据切线的性质得到与垂直，可得出为直角，用即可求出的度数．
【详解】∵，分别切于A，B点，是的直径，
，
又∵，
，
，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴扇面的面积
．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，则点到的距离为，
∵为的直径，
解得：，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
6．D
【分析】根据正八边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到点与点关于点对称，根据圆周角定理得到，都是的直径，求得，根据勾股定理得到，故可判断；在上截取，连接，则、，求得，得到，得到，于是得到，故可判断B；作于点，则，过作于并延长交，设，由，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，推出点关于的对称点在上，故可判断C；根据矩形的面积公式得到,，于是得到，故可判断D．
【详解】解：解：正八边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
点与点关于点对称，
为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心，
都是的直径，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
在上截取，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
故B错误，符合题意；
作于点，则，过作于并延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于的对称点在上，
故C正确，不符合题意；
，则，
，
四边形是矩形，
，
，
故D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点,解题的关键是掌握正多边形的性质．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接，利用垂径定理可得，再通过证明四边形是矩形得到，设，在中利用勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，过圆心作交于点，交于点，连接，
，
，，
矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴球的半径长是．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标．
【详解】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=，
故答案为：．
10．72
【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
根据正多边形和圆的性质进行计算即可求解，
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，
故答案为：72．
11．
【分析】可得，，，，则，继而可利用弧长公式求解．
【详解】解：连接，
∵，是的两条切线，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴阴影部分周长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，解直角三角形，弧长公式，切线的性质，熟练掌握切线长定理和切线的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵在中， ，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的运动路径的长为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，先根据正六边形的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出的度数，进而可得的度数．
【详解】解：如图，连接，
在正六边形中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键．
根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积公式是，根据旋转的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，
，，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，，根据切线的性质可得，进而可得，即可得证；
（2）连接，先证明，可得，，再证明，根据相似三角形的性质可求，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可求，进而得解．
【详解】（1）证明：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵与相切于点B，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴，（舍），
∴，
中，，
，
∴，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点解决问题．
17．证明见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
18．的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，继而得到，即可得到结论；
（2）连接，过点作于点，得到，求出，继而求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线
是直径，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点．
平分，，
是直径
，
，
，
在中，，
，
由（1）知，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
．
20．摆动一步的路程约为0.8米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：过点C作于点H，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
解得，，
（米），
答：摆动一步的路程约为0.8米．
21．(1)，点的坐标为；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）将点坐标代入求反比例函数解析式，再根据点是两函数的交点列分式方程求解即可；
（2）观察图象即可得解；
（3）先由一次函数解析式求出，推出，过点作轴于点，结合勾股定理求出扇形的半径后即可求出弧的长，最后由阴影部分面积扇形面积面积面积进行计算即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
反比例函数的表达式为，
点是一次函数和反比例函数的交点，
，
解得，，
经检验，，是该分式方程的解，
点在第四象限，
点横坐标为，
点纵坐标为，
即．
故反比例函数的表达式是，点的坐标是．
（2）解：由图象可得，时，或．
（3）解：对于，
当时，；当时，，
，
，
如图，过点作轴于点，
点，
，，
，
在中，，
的长，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求弧长、求其他不规则图形的面积，解题关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题解法．
22．[深入探究]，
[类比运用]①不变，，②
【分析】【深入探究】由勾股定理求出；当、、三点在同一直线时，有最大值，得出线段长度有最大值；
【类比运用】 ①连接、，则，由圆周角定理得，由勾股定理可得出答案；
②由①可知：点在以为弦，半径为圆上，当在线段上时，此时有最大值，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】【深入探究】 由【问题发现】知，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最大值，
线段长度的最大值为；
故答案为：，．
【类比运用】①不变．
连接、，则，
，
，
在中，，
，
；
②由①可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示，
，
当在线段上时，此时有最大值，
过点作于点，交于点，
，
，
，，
的最大值为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第三章圆随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，为的直径，B，D为上的点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接，若的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（）
A． B． C．8 D．4
6．如图，在正八边形中，连接，，，H，与交于点．则下列说法错误的是（）
A． B．
C．点关于的对称点在上 D．
7．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留）
10．如图，正五边形内接于，则 ．
11．如图是的两条切线，切点分别为A，B，，，图中阴影部分的周长为 （结果保留π）．
12．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 ．
13．如图，正六边形内接于，则的度数为 ．
14．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为 ．
15．如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．如图，点C在以为直径的上，点D是弧的中点，过点B作切线交延长线于点F，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
17．如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：．
18．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．，若，，求的半径．
19．如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
20．太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)求弧的长及图中阴影部分的面积之和．
22．【问题发现】
如图①，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值．
理由如下：如图②，取的中点，连结，
在中，，点是斜边的中点，
∴，
∴，
∴点、、在以点为圆心，为半径的上．
即为的外接圆，其半径为．
【深入探究】
在【问题发现】的条件下，连结，线段的长为_____，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为_________；
【类比运用】
如图③，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．
(1)设的外接圆圆心为点，半径为，请判断在矩形移动过程中的值是否发生变化，若不变，请求出的值，若变化，请说明理由；
(2)直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值．
《第三章圆随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D D A D B B
1．A
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，平角的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图所示，连接，根据圆周角定理得，根据圆周角定理的推论得，最后利用平角的性质即可得解．
【详解】解：如图所示，连接，
，
，
，
，
故选：A．
2．A
【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
由，分别为的切线，根据切线长定理得到，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角的度数，求出底角的度数，又为圆的直径，根据切线的性质得到与垂直，可得出为直角，用即可求出的度数．
【详解】∵，分别切于A，B点，是的直径，
，
又∵，
，
，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴扇面的面积
．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可．
【详解】解：设，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴，则点到的距离为，
∵为的直径，
解得：，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
6．D
【分析】根据正八边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，得到点与点关于点对称，根据圆周角定理得到，都是的直径，求得，根据勾股定理得到，故可判断；在上截取，连接，则、，求得，得到，得到，于是得到，故可判断B；作于点，则，过作于并延长交，设，由，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，推出点关于的对称点在上，故可判断C；根据矩形的面积公式得到,，于是得到，故可判断D．
【详解】解：解：正八边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
点与点关于点对称，
为正八边形的中心，即正八边形的外接圆的圆心，
都是的直径，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
在上截取，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
故B错误，符合题意；
作于点，则，过作于并延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于的对称点在上，
故C正确，不符合题意；
，则，
，
四边形是矩形，
，
，
故D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点,解题的关键是掌握正多边形的性质．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接，利用垂径定理可得，再通过证明四边形是矩形得到，设，在中利用勾股定理列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，过圆心作交于点，交于点，连接，
，
，，
矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴球的半径长是．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标．
【详解】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
点为的中点，
在中，，，
，
，
，，
点为的中点，
，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=，
故答案为：．
10．72
【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
根据正多边形和圆的性质进行计算即可求解，
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，
故答案为：72．
11．
【分析】可得，，，，则，继而可利用弧长公式求解．
【详解】解：连接，
∵，是的两条切线，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴阴影部分周长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，解直角三角形，弧长公式，切线的性质，熟练掌握切线长定理和切线的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了旋转变换，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵在中， ，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的运动路径的长为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，先根据正六边形的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出的度数，进而可得的度数．
【详解】解：如图，连接，
在正六边形中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键．
根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积公式是，根据旋转的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，
，，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，，根据切线的性质可得，进而可得，即可得证；
（2）连接，先证明，可得，，再证明，根据相似三角形的性质可求，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可求，进而得解．
【详解】（1）证明：∵点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵与相切于点B，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴，（舍），
∴，
中，，
，
∴，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点解决问题．
17．证明见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
18．的半径为．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设，
，
，
，
，
为直径，，
，
在中，
，
，
解得：（舍去），，
故的半径为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，继而得到，即可得到结论；
（2）连接，过点作于点，得到，求出，继而求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线
是直径，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点．
平分，，
是直径
，
，
，
在中，，
，
由（1）知，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
．
20．摆动一步的路程约为0.8米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：过点C作于点H，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
解得，，
（米），
答：摆动一步的路程约为0.8米．
21．(1)，点的坐标为；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）将点坐标代入求反比例函数解析式，再根据点是两函数的交点列分式方程求解即可；
（2）观察图象即可得解；
（3）先由一次函数解析式求出，推出，过点作轴于点，结合勾股定理求出扇形的半径后即可求出弧的长，最后由阴影部分面积扇形面积面积面积进行计算即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
反比例函数的表达式为，
点是一次函数和反比例函数的交点，
，
解得，，
经检验，，是该分式方程的解，
点在第四象限，
点横坐标为，
点纵坐标为，
即．
故反比例函数的表达式是，点的坐标是．
（2）解：由图象可得，时，或．
（3）解：对于，
当时，；当时，，
，
，
如图，过点作轴于点，
点，
，，
，
在中，，
的长，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求弧长、求其他不规则图形的面积，解题关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题解法．
22．[深入探究]，
[类比运用]①不变，，②
【分析】【深入探究】由勾股定理求出；当、、三点在同一直线时，有最大值，得出线段长度有最大值；
【类比运用】 ①连接、，则，由圆周角定理得，由勾股定理可得出答案；
②由①可知：点在以为弦，半径为圆上，当在线段上时，此时有最大值，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】【深入探究】 由【问题发现】知，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最大值，
线段长度的最大值为；
故答案为：，．
【类比运用】①不变．
连接、，则，
，
，
在中，，
，
；
②由①可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示，
，
当在线段上时，此时有最大值，
过点作于点，交于点，
，
，
，，
的最大值为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)