第一章直角三角形的边角关系随堂测试卷（含解析）

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第一章直角三角形的边角关系随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若，则为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
3．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ）
A． B． C． D．
5．在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（ ）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
二、填空题
8．计算 ．
9．在中，，，，则 ．
10．如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为 ．
11．在中，已知，，则的值是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，且反比例函数的图象经过点A，交边于点D，则点D的坐标为 ．
13．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为 ．
14．如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．已知是锐角，且，求和的值．
17．随着智能化的发展，现在很多同学会采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度及点A到的距离．（参考数据：，，，．结果精确到．）
18．如图，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点F，且．
(1)当点D在线段上，
①求证：；
②求的值；
(2)连接，，若，直接写出的长．
19．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，）
(1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
20． 在菱形中，，点E在射线上，连接、．
(1)如图1，当点E是边的中点，求的正切值；
(2)如图2， 当点E在线段的延长线上，连接与边交于点F，如果，的面积等于，求的长；
(3)当点E在边上，与交于点H，连接并延长与的延长线交于点G，如果，与以点E、G、B所组成的三角形相似，求的长．
《第一章直角三角形的边角关系随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B A B B A C
1．C
【分析】本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理，掌握正弦的定义是解题的关键．由题意可设，则，再由正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴设，
∴，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理．利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，
∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案．
【详解】解∶在中，， 约为，，
，即．
．
故选∶B．
5．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，根据等腰三角形性质求出，求出，解直角三角形求出、根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
如图所示，
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．过点作于点，设，利用勾股定理和正方形性质求出，再利用三角形面积和勾股定理求出，，，，，进一步求出，由，即可求出，
【详解】解：如图所示：过点作于点，
设，
∵为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴的面积，
∴，
∴，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，正确读取图中的信息是解题的关键．先得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可作答．
【详解】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故选：C．
8．0
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，
根据，再计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：0．
9．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数定义得出，代入求出结果即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
10．16
【分析】本题考查解直角三角形，根据正方形的特点，结合三角函数值，求出的长，进而求出的面积即可．
【详解】解：如图，
由题意，得：四边形为正方形，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
故答案为：16．
11．
【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴可设，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，设，利用三角函数求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，根据都在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴轴，，
∴，即：，
∵反比例函数的图象经过点A，交边于点D，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．
根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到，再根据余弦的定义计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，且，
∴在中，，
∴，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，延长交于点，过点作交的延长线于点，设，则：，，根据同角的余角相等，得到，利用正切值求出，进而求出，再利用正切值求出，证明，即可得出结论．
【详解】解：延长交于点，过点作交的延长线于点，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
15．1
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值．代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算的法则计算即可求解．
【详解】解：原式
16．，
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵是锐角，且，
∴，
∴，，
∴
；
．
17．此时顶部边缘处离桌面的高度约为；点A到的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过A作，垂足为E．
∵，
∴，
在中，，
∴，，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即此时顶部边缘处离桌面的高度约为；
，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
即点A到的距离约为．
18．(1)①证明见解析；②
(2)或
【分析】（1）①根据题意可得和为等腰直角三角形，可得，，再根据三角形外角的性质即可得证；
②过点C作于点E，设，可得，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质可得，，再代入计算即可；
（2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）①证明：在中，，，
∴，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②解：过点C作于点E，如图，
设，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为．
（2）解：分以下两种情况：
当点D在线段上，过点E作，交的延长线于点M，如图，
在中，，，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得，
在中，
；
当点D在线段延长线上，过点E作，交射线于点N，过点C作于点H，如图，
设，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得，
在中，，，
∴
，
综上所述，BE的长为或．
【点睛】本题属于相似型综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨的思想思考问题．
19．(1)77.2海里
(2)甲货轮先到达港，计算说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示：
在中，海里，
∴（海里），（海里），
在中，，
∴（海里），
∴（海里），
∴两港之间的距离约为77.2海里；
（2）解：甲货轮先到达港，
理由如下：
如图所示：
由题意得，
∴，
∴，
在中，，
∴海里，海里，
在中，海里，
∴（海里），
∴甲货轮航行的路程（海里），
乙货轮航行的路程（海里），
∵96.4海里＜105.4海里，
∴甲货轮先到达港．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，证和均为等边三角形，再由点E为的中点得，，则，设，则，，进而在中可求出的正切值；
（2）过点D作于M，先求出，则，从而得，进而得，则，，证得，则，，再由勾股定理求出，进而可得的长；
（3）过点E作于N，先证点C只能和点G是对应点得，则，从而得，设，则，在中由得，进而得，再证得，即，由此解出x即可得的长．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
∵四边形为菱形，，
∴，，，，
∴和均为等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴在中，；
（2）解：过点D作于M，如图2所示：
∵，和均为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
又∵的面积等于，
∴，
∵的边和的边上的高相同，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：过点E作于N，如图3所示：
∵和均为等边三角形，，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∵与以点E、G、B所组成的三角形相似，
∴点C只能和点G是对应点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设，
∴，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
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