第一章三角形的证明随堂测试卷（含解析）

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第一章三角形的证明随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．直角三角形的两锐角互补
C．如果两个角相等，那么它们是对顶角 D．两点之间线段最短
2．根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的角平分线，，则点到的距离为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
7．等腰三角形的顶角为，则底角为 ．
8．的平分线上一点 ，到 的距离为，则到的距离为 ．
9．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ．
10．如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度．
11．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ．
12．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，得，则证明这两个角所在的三角形全等的依据是 ．
13．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号）
14．如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ．
三、解答题
15．已知，平分，，，是垂直平分线，求证：．
16．如图，是等边三角形，为边的中点，交的延长线于点，点在上，且，连接、．
(1)求证：
(2)求的度数．
17．阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵，∴，
即，∴，∴．
根据这样的解法，完成：
(1)若，求的值；
(2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长；
(3)若正整数满足不等式，求的值．
18．如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点．
(1)求证是等腰三角形；
(2)若，求的度数；
(3)若，的周长为，求的周长．
19．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形；
(3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积．
《第一章三角形的证明随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C A D B C
1．D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据偶次方的性质即可判断A，根据直角三角形的性质即可判断B，根据对顶角的定义即可判断C，根据两点之间，线段最短即可判断D．
【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意；
B、直角三角形的两锐角互余，原命题是假命题，不符合题意；
C、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、两点之间线段最短，原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．
【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项符合题意；
D.，，，符合全等直角三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．
由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
，，
∴，，
．
故选：A．
4．D
【分析】作轴于点，可证明，由得，，则，所以点的坐标为．
【详解】解：如图，作轴于点，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
点的坐标为；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，由已知注意到到的距离即为长．过点作，垂足为，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，求出．
【详解】解：过点作，垂足为，
是的角平分线，
，，
；
故选：B．
6．C
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
和是等腰三角形；故①符合题意；
，，故②不符合题意；
又，，
的周长为；故③符合题意；
，
，
，
；故④符合题意；
故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．/65度
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等边对等角是本题的关键．根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴底角为：，
故答案为：．
8．
【分析】此题主要考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质，点到的距离与点到的距离相等，则点到的距离为．
【详解】解：∵的平分线上一点，到的距离为，
∴到的距离等于点到的距离，为，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可．
【详解】解：延长到，使得，连接，如图所示：
，
，
，，
，
如上图，过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
10．26
【分析】由平行线的性质可得，设，则，由翻折的性质可得，可得，求得，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解决即可．
【详解】解：，，
，
设，则，
将沿翻折得到，
，
，
，
，
，
是边的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：26
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质，熟练掌握翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质是解题的关键．
11．96
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．．
【详解】解：如图，连接．
，，，
，
又，，
，
是直角三角形，，
这块地的面积的面积的面积．
故答案为：96．
12．
【分析】本题考查了作图-基本作图．也考查了全等三角形的判定与性质．先利用基本作图得到，，由于为公共边，则利用可判断，从而得到．
【详解】解：由作图痕迹得，，
因为为公共边，
所以，
所以．
故答案为：．
13．①②④
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确．
【详解】解：①∵，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确；
②如图1，设与交于点，
∵，
∴，
在中，，
，
在中，，
，
，
，结论②正确；
③假设，
，
∴，
∴，
∵，
∴，根据已知条件无法得出这个结论，
即假设不成立，结论③错误；
④如图2，过点作于点，于点，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，且点在的内部，
∴平分，结论④正确；
综上，结论正确有①②④，
故答案为：①②④．
14．/度
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得是的垂直平分线，根据三线合一可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．根据角平分线的性质可以证得，然后根据线段的垂直平分线的性质证得，则可以证明，根据全等三角形的对应边相等证明．
【详解】证明：连接，
平分，，，即，
．
是垂直平分线，
，
在和中，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我内角和定理，证明是解题的关键．
（1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论；
（2）证明是等边三角形，得，再求，即可由求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
又由（1）知：，，
∴，
∴．
17．(1)
(2)10或11
(3)6
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、等腰三角形的定义，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）将已知等式变形为，据此求出的值，代入计算即可得；
（2）将已知等式变形为，据此求出的值，再根据等腰三角形的定义求解即可得；
（3）先将已知不等式变形为，再根据均为正整数可得，即，然后分三种情况：①，②和③，求出符合题意的的值，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵为等腰的两边长，
∴当为腰长，为底边长时，的周长为；
当为腰长，为底边长时，的周长为；
综上，的周长为10或11．
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵均为正整数，
∴，即，
∴①当，即时，
则或，
解得或（舍去）或（舍去），
所以此时；
②当，即时，
则，解得（不符合题意，舍去）；
③当，即时，
则，解得（不符合题意，舍去）；
综上，的值为6．
18．(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，利用等边对等角求得的度数，则可求得的度数；
（3）将的周长转化为的长即可求得．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴；
（3）解：∵的垂直平分线交于点D，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得；
（2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形；
（3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵点，分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，且点也是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键．
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