第27章相似随堂测试卷（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第27章相似随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ）
A．6 B．18 C．32 D．64
4．如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ．
10．若，其中，则的值为 ．
11．在如图所示的“五角星”图案中，，两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．（结果保留根号）
12．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ．
13．菱形周长为40，对角线、交于点，，点在上，，交于点，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)以点为位似中心，在轴的左侧画出将放大2倍后的，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
16．如图，在中，为上一点，为上一点，作平行四边形，边交于点，满足，联结．
(1)求证：．
(2)联结交于点，若，求证：四边形是等腰梯形．
17．如图，于点E，于点D．求证：．
18．如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作的垂线交于点，求证：；
(3)若，，求的长．
19．在矩形中，连接．
(1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
20．在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，若，求证：；
(3)如图2，若点为的中点，求的值．
21．《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像（），米，测量者眼睛到地面的距离为米，已知，，，且点，，，在同一水平线上．求飞虹塔的高度．
《第27章相似随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D D A B A
1．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解．
【详解】∵∽
相似比为，，
，
线段长度能确定，
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，两直线平行，同位角相等，
先根据平行线的性质说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，
∴，
∵的面积2，
∴的面积为18，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用．
结合相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意；
B． ，，，故B选项正确，不符合题意；
C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意；
D． ，而与不一定相等，不能使和相似，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
5．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：过点作交于，
∴，，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了三角形的相似比的平方等于相似三角形的面积之比，根据此关系计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴（舍负）．
故选：A
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用．正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
先求得，再说明，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即建筑物的高是．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
∴，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式是，即．
故选：A．
9．15
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴四边形与四边形的周长比为2：5，
∵四边形的周长为6，
∴四边形的周长为15，
故答案为：15．
10．
【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：
11．/
【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并解方程即可获得答案．
【详解】解：设，则，
∵两点都是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∴的长为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵矩形矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
13．6
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．先根据菱形的性质得出，，再用勾股定理求出，再证，根据相似三角形对应边长成比例，列式求解即可．
【详解】解：菱形周长为40，
，
对角线、交于点，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：6．
14．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可．
（2）根据分割法计算图形的面积即可．
本题考查了位似作图，计算图形的面积，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下：
且，
则即为所求．
（2）解：根据题意，得，
故的面积为：．
16．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得，结合，则，因为，证明，即可作答．
（2）先由平行四边形的性质得，证明，故，则，因为，得，因为，证明，则，所以，得四边形是梯形，结合由（1）得，，所以，即，证明四边形是等腰梯形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
（2）解：联结,如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
由（1）得，
∴，
则，
由（1）得，
∴，
∴，
则，
即，
∴四边形是等腰梯形．
17．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点D，于点E，得，再结合，证明，即可作答．
【详解】证明：∵于点D，于点E，
∴．
又∵，
∴，
∴，
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了菱形的判定、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）由题意可得，．再结合矩形的性质证明可得，即四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论；
（2）先证明可得，即，再结合即可证明结论；
（3）由矩形的性质和勾股定理可得，即；设，则．然后运用勾股定理列方程求得，最后代入即可解答．
【详解】（1）证明：∵过角线的中点作的垂线，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解：∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，解得：，即．
由（2），得．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；
（2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证；
（2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证；
（3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
21．米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得，即得米，进而得米，由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：飞虹塔的高度为米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第27章相似随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ）
A．6 B．18 C．32 D．64
4．如图，在中，点D、E分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ．
10．若，其中，则的值为 ．
11．在如图所示的“五角星”图案中，，两点都是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．（结果保留根号）
12．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ．
13．菱形周长为40，对角线、交于点，，点在上，，交于点，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)以点为位似中心，在轴的左侧画出将放大2倍后的，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
16．如图，在中，为上一点，为上一点，作平行四边形，边交于点，满足，联结．
(1)求证：．
(2)联结交于点，若，求证：四边形是等腰梯形．
17．如图，于点E，于点D．求证：．
18．如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作的垂线交于点，求证：；
(3)若，，求的长．
19．在矩形中，连接．
(1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
20．在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，若，求证：；
(3)如图2，若点为的中点，求的值．
21．《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像（），米，测量者眼睛到地面的距离为米，已知，，，且点，，，在同一水平线上．求飞虹塔的高度．
《第27章相似随堂测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D D A B A
1．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解．
【详解】∵∽
相似比为，，
，
线段长度能确定，
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，两直线平行，同位角相等，
先根据平行线的性质说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，
∴，
∵的面积2，
∴的面积为18，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用．
结合相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：A． ，，，故A选项正确，不符合题意；
B． ，，，故B选项正确，不符合题意；
C． ，，又，，故C选项正确，不符合题意；
D． ，而与不一定相等，不能使和相似，故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
5．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：过点作交于，
∴，，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了三角形的相似比的平方等于相似三角形的面积之比，根据此关系计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴（舍负）．
故选：A
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用．正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
先求得，再说明，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即建筑物的高是．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
∴，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式是，即．
故选：A．
9．15
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴四边形与四边形的周长比为2：5，
∵四边形的周长为6，
∴四边形的周长为15，
故答案为：15．
10．
【分析】本题考查比例的性质，由可得，，因为，把整体代入，即可得到答案．得到从而等量代换是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：
11．/
【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并解方程即可获得答案．
【详解】解：设，则，
∵两点都是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∴的长为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵矩形矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
13．6
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．先根据菱形的性质得出，，再用勾股定理求出，再证，根据相似三角形对应边长成比例，列式求解即可．
【详解】解：菱形周长为40，
，
对角线、交于点，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：6．
14．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可．
（2）根据分割法计算图形的面积即可．
本题考查了位似作图，计算图形的面积，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，画图如下：
且，
则即为所求．
（2）解：根据题意，得，
故的面积为：．
16．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得，结合，则，因为，证明，即可作答．
（2）先由平行四边形的性质得，证明，故，则，因为，得，因为，证明，则，所以，得四边形是梯形，结合由（1）得，，所以，即，证明四边形是等腰梯形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
（2）解：联结,如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是梯形，
∴，
由（1）得，
∴，
则，
由（1）得，
∴，
∴，
则，
即，
∴四边形是等腰梯形．
17．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点D，于点E，得，再结合，证明，即可作答．
【详解】证明：∵于点D，于点E，
∴．
又∵，
∴，
∴，
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了菱形的判定、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）由题意可得，．再结合矩形的性质证明可得，即四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论；
（2）先证明可得，即，再结合即可证明结论；
（3）由矩形的性质和勾股定理可得，即；设，则．然后运用勾股定理列方程求得，最后代入即可解答．
【详解】（1）证明：∵过角线的中点作的垂线，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解：∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，解得：，即．
由（2），得．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；
（2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证；
（2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证；
（3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
21．米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得，即得米，进而得米，由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：飞虹塔的高度为米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)