第17章勾股定理随堂测试卷（含解析）
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第17章勾股定理随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
8．在中，，，则以为边的正方形的面积为 ．
9．已知直角坐标平面内点和点，则线段 ．
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是 ．
11．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置）
12．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
13．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
14．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
三、解答题
15．如图，已知，，，，求AC．
16．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
17．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
18．如图，在中，，点是边上一点．
(1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，试求出的长．
19．如图，点是外（直线的下方）的一个动点，且
(1)若，那么______．
(2)连接，若，求证：
(3)若点关于直线的对称点为，连接，试探究三者之间满足的数是关系，并证明你的结论．
20．我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形．
(1)新知理解：
①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”）
②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由．
(2)知识探究：
在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值．
(3)知识拓展：
在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值．
《第17章勾股定理随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D B C B B
1．C
【分析】本题考查判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，，，能组成直角三角形，不合题意；
B、，，，能组成直角三角形，不合题意；
C、，，，不能组成直角三角形，符合题意；
D、，，，能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为．
根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为
【详解】解：，
，
，
，
点表示的数是
故选：A ．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出，再由勾股定理求出，再确定点C的坐标即可解答．
【详解】解：∵点B的坐标是，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴点C的坐标是．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设边的长为，
∵四边形是长方形，
∴，，．
，
．
由折叠的性质可知，，
．
在中，
∵，
，
解得，
∴边的长为，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，用勾股定理解决问题．根据题意作出图形，根据勾股定理求出的长即可推出结果．
【详解】解：由题意可知，当吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短，
∵水杯底面直径为，高度为，
∴，，
∴，
∴露在水杯外面的吸管长度，
即a最小为12，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．或/65或33
【分析】本题考查了勾股定理，分为斜边和为斜边两种情况，利用勾股定理求出即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当为斜边时，，
此时以为边的正方形的面积为；
当为斜边时，，
此时以为边的正方形的面积为；
∴以为边的正方形的面积为或，
故答案为：或．
9．
【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，熟记坐标平面内的两点间的距离的求解是解题的关键．
利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵点，
，
故答案为：．
10．25
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，根据图形找出等量关系是解题关键．由大正方形的面积，利用勾股定理得到的值，由小正方形的面积得出的值，最后结合完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：大正方形的面积是13，
，
小正方形的面积是1，
，
，
，
，
故答案为：25．
11．0.8
【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题．
【详解】解：在中，
根据勾股定理，可求得：
，
现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米），
在中，（米），
（米），
梯子的底部向外滑出的距离为（米），
故答案为：．
12．等边
【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
13．/130厘米
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离．
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，
∴在直角中，．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为．
14．
【分析】本题考查了勾股定理应用，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，根据勾股定理得到，根据垂直的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴由勾股定理知：．
16．(1)，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键．
（1）根据证明得出，即可推出结论；
（2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
17．(1)是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、尺规作图-作线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出图形是解题关键．
（1）首先作，然后在射线上取点，使得，即可获得答案；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而由勾股定理可得，然后证明为直角三角形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如下图，点即为所求；
（2）解：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，即，
∴．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（）由可得，，进而利用勾股定理即可求解；
（）作，交延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可求证；
（）过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，由轴对称可得，，，即得，得到是等腰直角三角形， 即可得，，进而得，再证明，得到，在中，，进而等量代换可得，即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，作，交延长线于点，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：．
证明：过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，则，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)①是；是，
(2)或或
(3)
【分析】本题考查勾股定理以及新定义内容，
（1）①只要是直角三角形就会满足的魅力三角形，即可作出判断；
②直接根据魅力三角形的定义判断即可；
（2）分类讨论，根据勾股定理求出，再利用魅力三角形定义求解即可；
（3）由勾股定理可得，因为斜边最长，所以可分两种情况，或，再结合勾股定理即可判断出、、之间的关系；
灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵当一个三角形是直角三角形时，设、为直角边，为斜边，
∴，
满足魅力三角形的定义，此时，
∴等腰直角三角形是魅力三角形，
故答案为：是；
②∵，，，
又∵，
∴该三角形是魅力三角形，；
（2）①当为斜边时，
∵，，
∴，
此时，，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②当为直角边时，
∴，
此时，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
综上所述，的值为或或；
（3）∵为直角三角形，，
∴，
①当，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，舍去；
②当，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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第17章勾股定理随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则a最小为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
8．在中，，，则以为边的正方形的面积为 ．
9．已知直角坐标平面内点和点，则线段 ．
10．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是 ．
11．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米，那么梯子的底部向外滑出 米（其中梯子从位置滑到位置）
12．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
13．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
14．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
三、解答题
15．如图，已知，，，，求AC．
16．如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
17．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
18．如图，在中，，点是边上一点．
(1)在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，试求出的长．
19．如图，点是外（直线的下方）的一个动点，且
(1)若，那么______．
(2)连接，若，求证：
(3)若点关于直线的对称点为，连接，试探究三者之间满足的数是关系，并证明你的结论．
20．我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形．
(1)新知理解：
①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”）
②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由．
(2)知识探究：
在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值．
(3)知识拓展：
在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值．
《第17章勾股定理随堂测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D B C B B
1．C
【分析】本题考查判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、，，，能组成直角三角形，不合题意；
B、，，，能组成直角三角形，不合题意；
C、，，，不能组成直角三角形，符合题意；
D、，，，能组成直角三角形，不合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键第2025次得到的结果为．
根据勾股定理求出，因为，即可得到答案第2025次得到的结果为
【详解】解：，
，
，
，
点表示的数是
故选：A ．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出，再由勾股定理求出，再确定点C的坐标即可解答．
【详解】解：∵点B的坐标是，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴点C的坐标是．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理解可得，进而推出，即．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵分别以，，为直径向外构造半圆，三个半圆的面积，，，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设边的长为，
∵四边形是长方形，
∴，，．
，
．
由折叠的性质可知，，
．
在中，
∵，
，
解得，
∴边的长为，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，用勾股定理解决问题．根据题意作出图形，根据勾股定理求出的长即可推出结果．
【详解】解：由题意可知，当吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短，
∵水杯底面直径为，高度为，
∴，，
∴，
∴露在水杯外面的吸管长度，
即a最小为12，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．或/65或33
【分析】本题考查了勾股定理，分为斜边和为斜边两种情况，利用勾股定理求出即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当为斜边时，，
此时以为边的正方形的面积为；
当为斜边时，，
此时以为边的正方形的面积为；
∴以为边的正方形的面积为或，
故答案为：或．
9．
【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，熟记坐标平面内的两点间的距离的求解是解题的关键．
利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵点，
，
故答案为：．
10．25
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，根据图形找出等量关系是解题关键．由大正方形的面积，利用勾股定理得到的值，由小正方形的面积得出的值，最后结合完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：大正方形的面积是13，
，
小正方形的面积是1，
，
，
，
，
故答案为：25．
11．0.8
【分析】本题考查的了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．先求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题．
【详解】解：在中，
根据勾股定理，可求得：
，
现在梯子的顶部滑下0.4米，即（米），
在中，（米），
（米），
梯子的底部向外滑出的距离为（米），
故答案为：．
12．等边
【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
13．/130厘米
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离．
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，
∴在直角中，．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为．
14．
【分析】本题考查了勾股定理应用，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，根据勾股定理得到，根据垂直的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴由勾股定理知：．
16．(1)，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键．
（1）根据证明得出，即可推出结论；
（2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
17．(1)是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、尺规作图-作线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出图形是解题关键．
（1）首先作，然后在射线上取点，使得，即可获得答案；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而由勾股定理可得，然后证明为直角三角形，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如下图，点即为所求；
（2）解：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，即，
∴．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（）由可得，，进而利用勾股定理即可求解；
（）作，交延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可求证；
（）过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，由轴对称可得，，，即得，得到是等腰直角三角形， 即可得，，进而得，再证明，得到，在中，，进而等量代换可得，即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，作，交延长线于点，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：．
证明：过点作于点，过点作于点，与交于点，连接，则，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)①是；是，
(2)或或
(3)
【分析】本题考查勾股定理以及新定义内容，
（1）①只要是直角三角形就会满足的魅力三角形，即可作出判断；
②直接根据魅力三角形的定义判断即可；
（2）分类讨论，根据勾股定理求出，再利用魅力三角形定义求解即可；
（3）由勾股定理可得，因为斜边最长，所以可分两种情况，或，再结合勾股定理即可判断出、、之间的关系；
灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵当一个三角形是直角三角形时，设、为直角边，为斜边，
∴，
满足魅力三角形的定义，此时，
∴等腰直角三角形是魅力三角形，
故答案为：是；
②∵，，，
又∵，
∴该三角形是魅力三角形，；
（2）①当为斜边时，
∵，，
∴，
此时，，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②当为直角边时，
∴，
此时，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
综上所述，的值为或或；
（3）∵为直角三角形，，
∴，
①当，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，舍去；
②当，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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