8.3 简单几何体的表面积与体积--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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8.3 简单几何体的表面积与体积--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆台上下底面积分别为，，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
2．如图,在三棱柱中,平面,,,则三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
3．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为( )（）
A. B. C. D.
4．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶装满水的体积约为( )
A.0.182升 B.0.205升 C.0.218升 D.0.235升
5．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7．如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，，则( )
A. B. C. D.3
8．佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美奂.佛兰德现代艺术中心的底面直径为，高为，则该建筑的侧面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．香囊，又名香袋 花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线CD与直线EF所成的角为
C.该六面体的体积为
D.该六面体内切球的表面积是
10．如图,在棱长为2的正方体中,点P是线段上的动点.则( )
A.与平面相交于点P
B.
C.直线与直线所成角的范围是
D.三棱锥的体积为定值是
11．如图,直三棱柱中,,,.点P在线段上（不含端点）,则( )
A.存在点P,使得
B.的最小值为有
C.面积的最小值为
D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知圆锥的底面半径为，O为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为_________.
13．《九章算术·商功》中将正四面形棱台（即正四棱台）建筑物称为方亭．现有一方亭,已知,且该方亭的高为6,体积为26,则___________．
14．如图所示,将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形,得到扇环,现将扇环围成一个圆台.若,则该圆台的体积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个正方体，如果它的每条棱都增加，则它的体积扩大为原来的8倍，求这个正方体的棱长.
16．如图所示，在仓库一角有一堆谷，呈四分之一圆锥形.量得底面弧长为，母线长为.这堆谷重约多少千克？（谷的密度取为.）
17．正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的几倍？
18．已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的全面积.
19．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥、小棱锥，棱台的侧面积之比；
（2）若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积.
参考答案
1．答案：C
解析：因为圆台的上 下底面积分别为，
所以该圆台的上 下底面的半径分别1，2，
如图所示：
即，，，
所以，所以，
故圆台的高为2，
则圆台的体积
，
故选：C.
2．答案：B
解析：平面,
,
,,
,
是等腰直角三角形,
,
,
所以,
故选:B.
3．答案：A
解析：设下面球的半径为，
因为上，中，下三个几何体的高度之比为，
则上面球的半径为，圆柱的高为，
由已知，所以，
故下面球的半径为5，上面球的半径为4，
所以下面球的体积为，
上面球的体积为，
又，
所以下面球的体积与上面球的体积之差约为，
故选：A.
4．答案：B
解析：根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
其中圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为
所以该壶装满水的体积约为
升.
故选：B.
5．答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意知，，，所以，所以圆锥的体积.故选A.
6．答案：D
解析：设圆雉的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意知，所以，
又，所以，
所以圆锥的体积.
7．答案：C
解析：设两圆锥的高，，
则，，
由，有，
可得，可得，
又由上下圆锥侧面积之比为，
即，
可得，则有，即，
代入整理为，解得（负值舍），
可得，.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题知该建筑的母线长为，则其侧面积为.
9．答案：AD
解析：由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，
将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，
其中A，C，F，H四点重合.
对于A：取的中点M，连接，，
则.
又
平面
又平面
，故A正确.
对于B：由图可知，与分别为正三角形的边，
其所成的角为，故B错误.
对于C：连接，过点G作平面，
则垂足O在上，且，
该六面体的体积
故C错误.
对于D：该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点O即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点O作，则就是内切球的半径.
在中，
该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：对于选项A,因为平面,故A错误;
对于选项B,因为,,且,,平面,
所以平面,又因为平面,,故B正确;
对于选项C,当点P与重合时,直线与直线所成角为;
当点P与不重合时,过点P作交于点G,则,
所以直线与直线所成角为,
在中,
当点P从点C运动到时,越来越大,
故,;
综上：直线与直线所成角的范围是,故C正确;
对于选项D,因为,平面,平面,所以平面,
所以,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：由题意得,,即,
又在直三棱柱中,底面,平面,平面,
,,则以A为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
因为,,所以,,,,,,,则,,
设（）,则,解得,,,
所以,
对于A选项,,,
要使,即,解得,
当,即P在中点时,,故A选项正确;
对于B选项,如图所示,将和沿展开,如图所示,
连接交于点T,可知,当点P与点T重合时取得最小值,
由题意得,,,,,,
所以,,,,
则,
在中,由余弦定理得,
,则,
所以的最小值为,故B选项错误;
对于C选项,,,设（）,
则,即,
所以,
则,
因为,所以当时,取得最小值,故C选项正确;
对于D选项,
,故D选项正确,
故选:ACD.
12．答案：
解析：在中，，
而，取中点C，
连接，，有，，如图，
，，，
由的面积为，得，
解得，于是，
所以圆锥的体积.
故答案为：
13．答案：3
解析：依题意可得,
即,
即,解得或（舍去）.
故答案为：3.
14．答案：/
解析：圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积,
扇形所围成的大圆锥的弧长为,所围成底面圆的半径为,
所以圆锥的高为,
故扇形所围成的大圆锥的体积为.
同理可得扇形所围成的小圆锥的体积为,
所以则该圆台的体积为.
故答案为:.
15．答案：
解析：设它的棱长为，由题意得，
解得，即它的棱长为.
16．答案：792千克
解析：设底面圆的半径为，
则，
，
，
.
每立方米谷为720千克，
这堆谷重约（千克）.
17．答案：4部
解析：若正方体的棱长为a，其表面积为，将正方体的棱长扩大到原来的2倍，其棱长为2a，表面积为.
因此，正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的4倍.
18．答案：
解析：.
19．答案：（1）
（2），
解析：（1）由面积的比等于对应边比的平方，
得，
则
（2）如图所示，小棱锥底面边长为，大棱锥的底面边长为.
又，，
四边形的高，
，
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