8.5 空间直线、平面的平行--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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8.5 空间直线、平面的平行--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，则( )
A. B. C.或 D.大小无法确定
2．如图,在长方体中,,则下列说法错误的是( )
A.
B.与异面
C.平面
D.平面平面
3．如图所示，在四棱锥中，M，N分别为，上的点，且平面，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.以上均有可能
4．在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是( )
A.
B.
C.
D.
5．平面与平面平行的充分条件可以是( ).
A.内有无穷多条直线都与平行
B.直线，，且直线a不在内，也不在内
C.直线，直线，且，
D.内的任何一条直线都与平行
6．如图,P为平行四边形所在平面外一点,E为的中点,F为上一点,当平面时,( )
A. B. C. D.
7．若m，n，l为三条不同的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A．如果，，则
B．如果，，，，则
C．如果，，则
D．如果，，，则
8．设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,已知,A,,B,,且A,B,C,,M,N分别是线段AB,CD的中点,则下列结论一定成立的是( )
A.当直线AC与BD相交时,交点一定在直线l上
B.当直线AB与CD异面时,MN可能与l平行
C.当A,B,C,D四点共面且时,
D.当M,N两点重合时,直线AC与l不可能相交
10．已知平行六面体的棱长均为2，，点P在内，则( )
A.平面 B.
C. D.
11．如图,正方体的棱长为2,E,F,G,H分别是棱,,,的中点,点M满足,其中,则下列结论正确的是( )
A.过M,E,F三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形
B.三棱锥的体积为定值
C.当时,平面MEF
D.当时,三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图,在正方体中,M为棱BC的中点,N是棱上的动点（不与端点A,重合）.给出下列说法:
①当N变化时,三棱锥的体积不变;
②当N变化时,平面内总存在与平面ABCD平行的直线;
③当N为中点时,异面直线CN与所成角的余弦值为;
④存在点N,使得直线.
其中所有正确的说法是________.
13．如图，棱长为3的正方体中，P为棱上一点，且，M为平面内一动点，则MC+MP的最小值为________.
14．如图，在棱长为3的正方体中，M在线段上，且，N是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，
(1)求证：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值.
16．已知在正三棱柱中,,.
（1）已知E,F分别为棱,的中点,求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面与4条棱AB，AC，CD，BD相交于E，F，G，H4点，且截面EFGH是一个平行四边形.
（1）求证：；
（2）求证：平面EFGH.
18．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点.求证：直线平面OCD.
19．如图所示的一块木料中，平面，P为平面内一点，现要用经过P和棱BC的一个平面将木料锯开，该如何画线？
参考答案
1．答案：C
解析：已知，，，
当角的方向相同时，，
当角的方向相反时，，
故选：C
2．答案：A
解析：如下图所示,连接,,,,
根据题意,由可得,,且;
同理可得,,且;
由,而,所以不可能平行于,即A错误;
易知与不平行,且不相交,由异面直线定义可知,与异面,即B正确;
在长方体中,,
所以,,即四边形为平行四边形;
所以,又,所以;
平面,平面,
所以平面,即C正确;
由,平面,平面,所以平面;
又,平面,平面,所以平面;
又,且,平面,
所以平面平面,即D正确.
故选：A.
3．答案：B
解析：直线平面，平面，平面平面，
所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：对于选项B,如图所示,连接CD,M,Q分别是所在棌的中点,MQ,
又平面平面
平面MNQ同理可证选项C,D中均有平面MNQ.
故选A
5．答案：D
解析：A：内有无穷多条直线都与平行，则面与面可能平行也可能相交，错误；
B：直线，，且直线a不在与内，则面与面可能平行也可能相交，错误；
C：直线，直线，且，，则面与面可能平行也可能相交，错误；
D：内的任何直线都与平行，内任取两条相交的直线平行于，由面面平行的判定知，正确.
故选：D.
6．答案：D
解析：连接交于G,连接,
平面,平面
平面平面,
,
故:①
又,E为的中点,
②
由①②可得:
故选:D.
7．答案：C
解析：A：当时，才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；
B：只有当，，，时才能由，，得到，所以本选项命题是假命题；
C：根据面面平行的性质可知本选项命题是真命题；
D：因为，，，所以直线m，n没有交点，因此m，n可以平行也可以异面，所以本选项命题是假命题，
故选：C
8．答案：B
解析：A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则或或，故D错误；
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A选项,设,
由于,所以;由于,所以,
由于,所以,所以A选项正确.
B选项,当直线AB与CD异面时,
连接,,,设的中点是H,连接,,,
则,,
由于,,所以,
若,,所以,
由于,,平面,所以平面,
同理可证得平面,则,
这与已知矛盾,所以与l不平行,B选项错误.
C选项,当A,B,C,D四点共面且时,
由于平面,平面,
所以平面,由于,平面,
所以,所以C选项正确.
D选项,当M,N两点重合时,
,,,所以,
所以,所以,
由于,,所以,
由于,,所以,即直线AC与l不可能相交,
所以D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：对于A，连接，
由平行六面体得，
平面平面，平面平面，
因为平面平面，
平面平面，
所以，同理可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正确；
对于B，以，，为基底，
则，，，
因为平行六面体的棱长均为2，
，
所以，
，
所以，
因为，平面，且，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于D，，
，
，即，
所以，
当点A，P，共线时等号成立，故D正确；
对于C，因为平面，
则交的外心O，连接，
则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，
则，，
设，
在中，，
在中，，
则，
所以，故C错误；
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：当时,点M与点H重合时,
过M,E,F三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形,
如图：
故A正确;
对于B,因为 可得点M是线段上一个动点,
又因为正方体中,平面平面,平面,
故平面,所以点M到平面的距离为定值,
而,所以三棱锥 是定值, 又因为,
故三棱锥的体积为定值,B正确;
当时,点M为中点,
因为,而平面MEF,
所以与平面MEF不平行,C错误;
当时,点M与点G重合,为等腰直角三角形,
则的外接圆半径为,
又因为平面,
所以三棱锥外接球的半径,
则,所以外接球表面积为,D正确.
故选：ABD.
12．答案：①②
解析：由题意
对于①
面,
N到面的距离相等,设为d,
,
三棱锥的体积为定值,①正确.
对于②,
面与面有公共点M,
面与面有一条经过M点的交线,
在面中,作该交线的平行线,
则该直线平行于面,②正确.
对于③,设正方体棱长为2,
建立空间直角坐标系如下图所示,
,,,,
,,,,
,,
,,
,
当N为中点时,异面直线CN与所成角的余弦值为,③错误.
对于④,
设,则,,
若直线⊥面,
,
无解,
存在点N,使得直线,④错误.
故答案为:①②.
13．答案：
解析：连接，与平面交于点E，易知平面，
作点C关于平面的对称点N，易知，
连接NP，由，得，且，
，当M为与平面的交点时取等号，
则的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，
线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，，，
因为，所以，，
又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，N在线段上.
因为，，
所以线段的最大值为.
故答案为：
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取中点N，连接，
因为是正三角形，
所以，
因为平面平面，
平面，平面平面
所以平面，又因为平面，
所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
(2)连接，交于O，取中点M，连接，
所以，因为平面，所以平面，
因为，平面，所以，
又因为四边形是菱形，所以，
所以，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
，
令，
平面的法向量为，
设二面角的大小为，
.
所以二面角的正弦值为.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取中点G,连接,.
,F分别为,中点,且,
又E分别为中点,且,
且,
故四边形是平行四边形,.
而平面,面,
平面.
（2）如图以A为坐标原点,,分别为y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
.
设平面的法向量为,
则,
令,得,,.
.
即直线与平面所成角的正弦值是.
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，平面，平面BCD，
所以平面BCD.
又因为平面ABC，平面平面，
所以.
（2）证明：因为，平面ABD，平面ABD，
所以平面ABD.
因为平面ACD，平面平面，
所以.
因为平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH.
18．答案：证明见解析
解析：证明：如图，取OD的中点E，连接CE，ME.
易知，，
所以四边形MECN为平行四边形，
所以，
又平面，平面OCD，
所以直线平面OCD.
19．答案：见解析
解析：平面，平面，平面平面，.
如图，过平面上一点P作，
，，，
因为EF、BC在平面BCFE内，所以连接BE和CF，则BE、CF、EF就是所要画的线.
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