8.6 空间直线、平面的垂直--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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8.6 空间直线、平面的垂直--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，在棱长都相等的正三棱柱中，P为棱的中点，则直线与直线所成的角为( )
A. B. C. D.
2．如图，空间四边形的对角线，，M，N分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3．如图，菱形的对角线与交于点O，是的中位线，与交于点G，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
4．两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
5．如图,在正方体中,P,M,N分别为,,的中点,则与平面垂直的直线可以是( )
A. B. C. D.
6．在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，G为的重心，则与底面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7．已知正方体，若P是棱的中点，则异面直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
10．已知正方体的棱长为1，下列命题正确的是( )
A.平面
B.四面体的体积是正方体的体积的三分之一
C.与正方体所有棱都相切的球的体积为
D.与平面所成的角等于
11．已知正四棱锥的所有棱长均相等,O为顶点S在底面内的射影,则下列说法正确的有( )
A.平面平面
B.侧面内存在无穷多个点P,使得平面
C.在正方形的边上存在点,使得直线与底面所成角大小为
D.动点M,N分别在棱和上（不含端点）,则二面角的范围是
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．正方体的6个面中,所在平面与平面垂直的面的个数为______________.
13．如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是__________.
14．如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，F为的中点，E为的中点，则直线与所成角的大小为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，O，F分别是，的中点，与交于点E.
(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点Q，求直线与平面所成角的大小.
16．在三棱柱中,平面平面ABC,,,D为AC的中点.
（1）求证:平面平面;
（2）求与平面所成角的正弦值.
17．如图，在直三棱杜中，，，D为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求点A到平面的距离.
18．如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，，，点N在线段上，且在几何体中，解决下面问题.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
19．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：如图设E，F分别为棱，的中点，
连接，，，，
E，F分别为棱，的中点，所以，
因为P为棱的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以（或其补角）为直线与直线所成的角.
设正三棱柱的棱长为，
则，，，
，，
所以，
所以，.
故选：D.
2．答案：C
解析：取的中点P，连接，，如图，
则，，
（或其补角）即异面直线与所成的角，
，，，
.
故选：C.
3．答案：B
解析：菱形的对角线与交于点O，
是的中位线，则，
而平面，平面，
因此平面，①正确；
连接，由，
得，，
而，，平面，
则平面，
又平面，
因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，
由绕旋转过程中，
从逐渐减小到（不包含和），
当时，，
，，平面，
则平面，
而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B
4．答案：B
解析：取的中点E，连接，
因为正三角形与的边长为4，
所以，，
且，
故为二面角的平面角，，
所以是等边三角形，
取的中点F，连接，则，，，
因为，，，
，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
取的中心G，则点G在上，
且，故，
则球心O在G点正上方，连接，，
过点O作于点K，
则，
设，，则，
由勾股定理得，
，
故，解得，
故外接球半径，
故球O的表面积为.
故选：B
5．答案：D
解析：连接,,,,如下图所示：
因为P,M,N分别为,,的中点,故,,
又面,面,故面;
又面,面,故面;
又,,面,故面面;
则垂直于平面的直线一定垂直于面;
显然面,面,故,
又,,,面,
故面,又面,故;
同理可得,又,,面,
故面,也即面;
若其它选项的直线垂直于平面,则要与平行,显然都不平行.
故选：D.
6．答案：A
解析：
如图分别以，，所在直线为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系，
由已知，得，，，，，
则重心，因而，
设与底面所成的角为，
则.
故选：A.
7．答案：D
解析：令正方体的棱长为2，连接，，
则，
四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，即，
因此是异面直线和所成的角，
在等腰中，，
所以异面直线和夹角的余弦值为.
故选：D
8．答案：C
解析：
取中点D，连接，
因为与都是边长为2的等边三角形，
所以，，，
且，，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，
过点P做，所以点P到直线的距离即为，
又，且，所以为等边三角形，
所以，
即点P到平面ABC的距离为.
故选：C
9．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
10．答案：AB
解析：对A，由正方体性质可得平面，
平面，
所以，易知，
，，平面，
故平面，
又平面，故，
同理可证平面，
又平面，故，
又，，
平面，故平面，A正确；
对B,四面体的体积为正方体的体积减去4个三棱锥的体积，
即，
故四面体的体积是正方体的体积的三分之一，故B正确；
对C,与正方体所有棱都相切的球的直径长度为面对角线的长度，
故球的体积为，故C错误；
对D,以为原点建立如图所示的坐标系
，，
由A可知，为平面的法向量，，
设与平面所成的角为，，故D错误
故选：AB.
11．答案：BD
解析：已知所有棱长都相等,不妨设为1.
对于A：过S作直线,因为,所以,
所以l为平面与平面的交线,
取中点E,中点F,连接,,由正四棱锥,
可得,,所以,,
所以为二面角的平面角,连接,
在中,
所以平面与平面不垂直,故A错误;
对于B：取中点G,中点H,连接,,,
因为,,又,平面,,平面,
所以平面,平面,又,
所以平面平面,所以当时,平面,这样的点P有无穷多,故B正确;
对于C：由已知可知当Q在正方形各边中点时,与底面所成的角最大,,所以,所以不布存Q使得与底面成的角为,故C错误;
对于D：作垂直于,连接,
因为平面,又平面,所以,
又,所以平面,因为平面,所以,
因为则为二面角的平面角,
当都无限向点B靠拢时,;当,时,,
所以二面角范围是,故D正确.
故选：BD.
12．答案：4
解析：在正方体中,
平面、平面、平面、平面均与平面垂直,
平面与平面平行,
故正方体的6个面中,所在平面与平面垂直的面的个数为4个.
故答案为：4.
13．答案：
解析：连接，，，点E，F，G分别是，，的中点，
，，，
，，四边形为平行四边形，
则，故或其补角即为与所成的角，
易得，
，
，
所以，所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：设的中点为C，
连接，，，
因为E为的中点，
所以有，，，
所以是直线与所成的角(或补角),
因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
所以，
显然是圆锥的高，因此与底面垂直，
在底面中，因为F为的中点，
所以，
于是，
因为，
所以，
故答案为：
15．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)因为为正三角形，O是中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又，在平面内且相交，故平面
(2)E，O分别为，的中点，，
又平面过且不过，平面.
又平面交平面于，故，进而，
因为F是中点，所以Q是的中点.
以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面法向量为，
则，即，
取，得，
则，
因为，所以.
16．答案：（1）证明见答案
（2）
解析：（1）取的中点E,连接AE,
由题意可知:为等边三角形,则,
且,可得,
因为平面平面ABC,平面平面,平面,
所以平面ABC,
由平面ABC,可得,
又因为,,AE,平面,
可得平面,且平面,
所以平面平面.
（2）由（1）可知:平面,且平面,可得,
且平面ABC,如图,以A为坐标原点,AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
可得,,,
设平面的法向量为,则,
令,则,,可得,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由直三棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，
又，所以四边形为正方形，
所以.
在直三棱柱中，平面平面，
由得，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，.
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，即，
又平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，解得.
则，平面的一个法向量
由题意，.即点A到平面的距离为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)连接与相交于O,连接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,
所以平面，
(2)过C作交于M，
由于平面平面，
且两平面交线为，平面，
所以平面，平面,故，
又四边形为直角梯形，故,
，是平面内的两相交直线，
所以平面，
平面，故.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）由题意，
因为四边形为菱形，所以.
连接.
因为，
所以为等边三角形，从而.
在中，E是的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以.
，面，平面，面，
平面.
又平面，
平面平面
（2）由题意及（1）得，
在平面中，过点E作，垂足为M，连接.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，所以平面.
又平面，所以，
从而是二面角的平面角.
在中，，，
所以.在中，，，
所以.
在中，，，
所以二面角的平面角的正弦值为.
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