9.1 随机抽样--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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9.1 随机抽样--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人,现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动,则应从高三抽取( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
2．某单位有职工500人,其中男性职工有320人,为了解所有职工的身体健康情况,按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查,则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多( )
A.28 B.36 C.52 D.64
3．某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为( )
A.350 B.400 C.500 D.550
4．在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为.则下列说法正确的是( )
A.小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数
B.小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数
C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数
D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对
5．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议,也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人,其中老年人200人,中年人200人,青少年80人,若按年龄进行分层随机抽样,共抽取36人作为代表,则中年人比青少年多( )
A.6人 B.9人 C.12人 D.18人
6．某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为( )
A.50 B.40 C.30 D.20
7．某学校高二年级选择“物化生”,“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240,90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究,则“史地政”组合中选出的同学人数为( )
A.8 B.6 C.4 D.3
8．为了了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取60人进行视力检测已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )
A.25 B.24 C.21 D.15
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
C.箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止
D.某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
10．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有( )
A.该平台女性主播占比的估计值为0.4
B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D.从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
11．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法正确的有( )
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某高中高一年级有学生1440人,高二年级有学生1600人,高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法,从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况,其中在高二年级抽取了100人,则________.
13．某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为___________.
14．某学校有高中学生800人,其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为260,240,300.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向,现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本,那么应抽取高一年级学生的人数为_______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）某科研院所共有科研人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定抽取100名科研人员进行调查，应怎样进行抽样？
16．某完全中学初中部有学生1850人，高中部有学生1250人.若要用分层抽样的方法从这所学校抽出62名同学来了解大家对学校伙食的看法，那么所抽出的初中部学生数与高中部学生数的比是多少？
17．某集团有甲、乙、丙三个分公司，其中甲公司有员工500名，乙公司有员工800名，丙公司有员工300名.为了了解集团员工对企业改革的态度，该集团用分层抽样的方式抽取若干名员工进行访谈，已知甲公司共抽取了10名员工，分别求乙公司和丙公司抽取的员工数.
18．治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药,治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈;服用传统药的400名患者中有120名未治愈.
(1)补全列联表（单位：人）,并根据小概率值的独立性检验,解题思路创新药的疗效是否比传统的疗效药好;
药物 疗效 合计
治愈 未治愈
创新药
传统药
合计
(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名,在这10人中随机抽取8人进行回访,用X表示回访中治愈者的人数,求X的分布列及均值.
附：,
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
19．某学校组织了党的二十大知识竞赛（满分100分），随机抽取200份试卷，将得分制成如下表：
分数
频数 20 40 60 60 20
(1)估计这200份试卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在这200份试卷中，从成绩在，内的试卷中采用分层抽样的方法抽取5份试卷，再从这5份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自不同成绩区间的概率
参考答案
1．答案：C
解析：采用分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取18人,
已知高一、高二、高三分别有600人、500人、700人,
则应从高三抽取的人数为.
故选:C.
2．答案：A
解析：由题意可知抽取到的男性职工人数为,
女性职工人数为,
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多.
故选:A.
3．答案：B
解析：设该校高一年级的女生人数为x，
则，解得.
故选：B.
4．答案：D
解析：抽样的样本容量大但有时不具有代表性，
不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误：
使用分层的抽样方法样本更具有代表性，
但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误：
两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误;
通过对上面三个选项的解题思路可知样本平均数具有随机性，故选项D正确；
故选：D.
5．答案：B
解析：设中年人抽取x人,青少年抽取y人,由分层随机抽样可知,,
解得,,故中年人比青少年多9人.
故选：B.
6．答案：C
解析：设高二年级被选中的学生人数为x，
则.
故选：C.
7．答案：C
解析：由题:,故“史地政”组合中选出的同学人数为4人,
故选:C.
8．答案：C
解析：依题意，，
所以高二年级抽取的人数为21.
故选：C
9．答案：ABD
解析：A不是，因为传送带上的产品数量不确定；
B不是，因为个体的数量无限；
C是，因为满足简单随机抽样的定义；
D不是，因为它不是逐个抽取的.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，
青年人人数为，中年人人数为，
由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，
其他人群中，女性人数为，
故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；
B选项，中年人中男性人数为，
故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；
C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，
故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；
D选项，从所调查的主播中，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件A，随机选取一位作为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件B，
则，，，D错误.
11．答案：ABD
解析：易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高一年级的人数为，高二年级的人数为，则高一年级应抽取的人数为，高二年级应抽取的人数为，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；
乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；
该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确.故选ABD.
12．答案：300
解析:利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查,其中高二年级抽取了100人,高二年级共有1600人,
则每个学生被抽到的概率为,
可得,解得（人）,
故答案为:300.
13．答案：8
解析：由题意，，
设在“史政生”组合中应选出的学生人数为x，
则根据按比例分配分层抽样可得，解得.
故“史政生”组合中选出的学生人数为8.
故答案为：8.
14．答案：65
解析：根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为,则高一年级抽取的人数是.
15．答案：抽取具有中级职称的科研人员40人，具有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人
解析：因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应该用分层抽样.
设样本中具有高级职称的人数为x，则，可算得，
即要抽取具有高级职称的科研人员20人.
类似地，可以算得要抽取具有中级职称的科研人员40人，具有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人.
16．答案：
解析：因为是用分层抽样，所以各层抽取的个数比等于总体中各层的个数比，因此所抽出的初中部学生数与高中部学生数的比为：.
17．答案：乙公司和丙公司抽取的员工数分别为16人，6人
解析：由题意知，抽样比为，
所以乙公司应抽取的员工数为，丙公司应抽取的员工数为，
因此乙公司和丙公司抽取的员工数分别为16人，6人.
18．答案：(1)表格见解析,创新药的疗效没有比传统药的疗效好;
(2)分布列见解析,
解析：(1)根据已知数据补全列联表如下所示：
药物 疗效 合计
治愈 未治愈
创新药 40 10 50
传统药 280 120 400
合计 320 130 450
因为,
根据小概率值的独立性检验,我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好,
所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好;
(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名,相当于每40名患者抽取1名,
所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名,现在这10人中随机抽取8人进行回访,
用X表示回访中治愈者的人数,其中X的可能取值有5,6,7,
则,,所以X服从超几何分布列,
即,
,
故分布列为：
X 5 6 7
P
所以.
19．答案：(1)76
(2)
解析：(1)这200份试卷成绩的平均值估计为
．
(2)这200份试卷中按成绩低于80分的有120份，不低于80分的有80份，
因此采用分层抽样的方法抽取的5份试卷中成绩在内有2份，
记为，；成绩在内有3份，记为，，
从这5份试卷中随机抽取2份试卷的总的基本事件有：，，，，，，，共10个；
其中2份试卷来自不同成绩区间的有，
，，共6个；
故这2份试卷来自不同成绩区间的概率为．
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