9.2 用样本估计总体--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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9.2 用样本估计总体--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知甲、乙两组按顺序排列的数据：
甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于( )
A. B. C. D.
2．已知样本数据为8，a，4，b，10且a，b是方程的两根，则中位数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3．10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )
A. B. C. D.
4．已知一组数据:95,105,130,88,118,97,103,则这组数据的上四分位数为( )
A.95 B.97 C.105 D.118
5．数据1,5,4,3,6,5,2,6的第25百分位数为( )
A.2 B. C.3 D.
6．2024年7月28日至8月8日,第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行,某校在“大运会”举行前夕,在全校学生中进行“我和‘大运会’”的征文活动,对收到的稿件进行分类统计,得到如图所示的扇形统计图.已知全校高二年级共交稿360份,则全校高三年级的交稿数为( )
A.320份 B.330份 C.340份 D.350份
7．某地有9个快递收件点，在某天接收的快递个数分别为，361，285，293，305，403，189，247，265，289则这组数据的第72百分位数为( )
A.289 B.299 C.305 D.361
8．若有一组数据为6，6，5，5，4，4，3，2，1，则该组数据的平均数为( )
A.2 B.3 C.4 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知数据,,,…,的平均数为a,中位数为b,方差为c,极差为d,由这数据得到新数据,,,…,,其中,则对于所得新数据,下列说法一定正确的是( )
A.平均数是 B.中位数是 C.方差是 D.极差是
10．下图为某地2014年至2024年的粮食年产量折线图,则下列说法正确的是( )
A.这10年粮食年产量的极差为15
B.这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C.这10年粮食年产量的中位数为29
D.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
11．下列命题正确的是( )
A.若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
B.若样本数据，的方差为2，则数据，，的方差为8
C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
D.某人解答5个问题，答对题数为X，若，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191.该组数据的第80百分位数为_______________.
13．设一组数据,,,的平均数为11,则,,,的平均数为_____________.
14．已知样本，的平均数为6，方差为4，样本，，，的平均数为8，方差为2，则新样本，，，，，，，的方差为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，某比亚迪新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示.
(1)估计样本数据中用户年龄的中位数；
(2)销售部从年龄在，内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
16．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
学生人数 50 100 200 125 25
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率.
17．某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍.
(1)求a和b的值；
(2)若次数在120以上（含120次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
18．传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨,有助于在红歌中受到启迪,树立积极的生活态度和健康的价值观.某重点高中在纪念“一二·九”活动中,举办了“唱青春之序曲,展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛,由专业教师和学生会共50人组成评委团,评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛.评委对各节目的给分相互独立,互不影响.现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表,如下所示：
分数区间
频数 1 4 10 22 11 2
频率 0.02 0.08 0.20 0.44 0.22 0.04
分数区间
印象值 8 9 10
(1)从两个节目各自的平均分来看,应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值,从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数,试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率.
19．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），将数据分成，，，，，这6组，得到如图的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74.以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.
（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值.
（2）若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在的个数，求X的分布列和数学期望.
（3）若变量S满足且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问：该批零件能否被签收？
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，所以甲组数据的第30百分位数为28，乙组数据的第30百分位数为n，甲组数据的第50百分位数为，乙组数据的第50百分位数为，所以，解得，所以.
2．答案：C
解析：因为方程的两根为2，6，
依题意：样本数据按从小到大为：2，4，6，8，10，
则中位数为：6，
故选：C.
3．答案：D
解析：重新排列得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.
则有：,,.
所以
故选：D.
4．答案：D
解析：将数据按升序排列可得:88,95,97,103,105,118,130,共7个数据,
因为,
所以这组数据的上四分位数为第6个数据,是118.
故选:D.
5．答案：B
解析：将8个数据从小到大排列,得到1.2,3,4,5,5,6,6,
,
故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数,即.
故选:B
6．答案：C
解析：根据扇形统计图知,高三所占的扇形圆心角为,
在总交稿数中占比,
且高二年级共交稿360份,在总交稿数中占比,
所以总交稿数为份,
则高三年级的交稿数为份.
故选:.
7．答案：C
解析：将这组数据按照从小到大的顺序排列得189，247，265，285，
289，293，305，361，403，
因为，
所以这组数据的第72百分位数为第7个数305.
故选：C.
8．答案：C
解析：平均数为.
故选：C.
9．答案：BC
解析：A选项,由题意得,
则,
则,,,…,的平均数是,A错误;
B选项,,,,…,从小到大排列后为,,,…,,
取第5个和第6个数的平均数作为中位数,即,
由于,故,,,…,从小到大排列为,,,…,,
取第5个和第6个数的平均数作为中位数,即,B正确;
C选项,由题意得,
则
,故方差是,C正确;
D选项,,,,…,从小到大排列后为,,,…,,
故,
其中,,,…,从小到大排列后为,,,…,,
则,故极差是,D错误.
故选:BC
10．答案：ABC
解析：A选项,将样本数据从小到大排列25,26,27,28,28,30,33,36,37,40,
这10年的粮食年产量极差为,故A正确;
B选项,,结合A选项可知第65百分位数为第7个数33,故B正确;
C选项,从小到大,选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数,
这10年的粮食年产量的中位数为,故C正确;
D选项,结合图形可知,前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动,
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差,故D错误;
故选:ABC.
11．答案：BCD
解析：对于A，因为，
即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，若样本数据，的方差为，
则数据，，的方差为，故B正确；
对于C，将这原来的30个数从小到大排列为，
则，所以原来的分位数为，
若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为，
则，所以剩下28个数据的分位数为，
由于，互不相同，所以C正确；
对于D，某人解答5个问题，答对题数为X，
若，则，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：185
解析：显然该组数据已由小到大排列,由,
得该组数据的第80百分位数为.
故答案为：185.
13．答案：90
解析：因,,,的平均数,
则,,,的平均数为：.
故答案为：90.
14．答案：4
解析：由题意可知，，，，，
故新样本的平均数为，
其方差为
.
故答案为：4.
15．答案：(1)中位数为45
(2).
解析：(1)由频率分布直方图可知，
年龄小于40岁的用户所占比例为，
年龄小于50岁的用户所占比例为，
所以中位数一定在内，由，
所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45.
(2)由分层抽样的方法可知，抽取的8人中，
年龄在内的有3人，分别记为，，；
年龄在内的有5人，分别记为，，，，；
则从这8人中随机抽取2人的样本点为，，，，，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，共28种；
记这2人取自不同年龄区间为事件A，其包含样本点有，，，，，
，，，
，，，
，，，，共15种，
故这2人取自不同年龄区间的概率为.
16．答案：(1)49
(2).
解析：(1)依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
，
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49.
(2)抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人，
记内的2人为A，B，记内的4人为a，b，c，d，
从这6人中随机选2人的基本事件有：，，，，
，，，，，，，，，共15种，
其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，，，，，，，，共9种，
设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，
则.
17．答案：(1)；
(2)0.54，9720人
解析：（1）由题意得，
解得；
（2）由图可知，超过120分的组的频率分别为0.30，0.18，0.06，
故优秀率为，
则全市优秀学生的人数约为（人）.
18．答案：(1)应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)0.284.
解析：(1)由频率分布直方图可知,《在太行山上》的平均得分约为：
,
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
,
,故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”,
则,
,,
,,
事件与相互独立,其中,10,,
,
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284.
19．答案：（1）频率为0.15；，，
（2）分布列见解析；数学期望为2.1
（3）能被该公司签收
解析：（1）由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18个，
则这批零件的长度大于1.60分米的频率为.
记Y为零件的长度，
则，
，
，
故，，.
（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1个，长度在的概率.
又随机变量X服从二项分布，
则，
，
，
，
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
（或）.
（3）由题意可知，，
则，
.
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布.
因此应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.
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