10.1 随机事件与概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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10.1 随机事件与概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
A. B. C. D.
2．从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则使为整数的概率是( )
A. B. C. D.
3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，则( )
A. B.
C. D.若，则
4．已知随机事件A,B满足,,,则( )
A. B. C. D.
5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
6．若，，，则( )
A. B. C. D.
7．同时掷两颗骰子,则所得点数互不相等的概率是( )
A. B. C. D.
8．有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量，记A表示事件“”，B表示事件“”，C表示事件“”，则( )
A.B和C互为对立事件 B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立 D.事件B和C相互独立
10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7，8，9，7，6，5，10，9，5，7（单位：环），则( )
A.这组数据的中位数与众数相等
B.这组数据的30%分位数与极差相等
C.若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件
D.若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件
11．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是( )
A.，是对立事件 B.，是独立事件
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格,某小九宫格如图所示,小明需要在9个小格子中填上1~9中不重复的整数,小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字,a,b,c,d,e这5个数字未知,且b,d为偶数,则的概率为________.
9 a 7
b c d
4 e 6
13．已知甲 乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲 乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________________.
14．小明的生日是12月23日，他从1，2，2，3这四个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的4位数手机密码，则他设置的密码中1与3相邻的概率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
文化艺术类 体育锻炼类 合计
男
女
合计
（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取2名，求所抽取的2名同学中至少有1名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
16．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.
(1)当，，时，求乙胜的概率；
(2)若规定：当乙取红球、黄球和篮球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值.
17．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率.
(1)恰有两名同学拿对了书包；
(2)至少有两名同学拿对了书包；
(3)书包都拿错了.
18．为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
19．—只不透明的袋子中装有2个白球,3个红球,这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球,求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回,搅匀,再从中任意摸出1个球,求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
参考答案
1．答案：C
解析：设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，
如表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.
三人可能拿到的卡片结果为：，，，
，，共6种，
其中满足题意的结果有，，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
2．答案：B
解析:由条件可知,得到不同的对数为,,,
,,,共6个对数,其中为整数的有2个,
所以概率.
故选:B
3．答案：D
解析：对于A：若A，B是一个随机试验中的两个事件，
则，故A错误；
对于B：若，，则，故B错误；
对于C：当A、B独立时，，
当A、B不独立时，则不成立，故C错误；
对于D：若，则，故D正确.
故选：D
4．答案：D
解析：依题意,.
故选：D.
5．答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，共7种，故所求概率.故选D.
6．答案：C
解析：因为，
所以，
解得.
故选：C.
7．答案：B
解析：掷两颗骰子,所有情况如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
由上表,一共有36种情况,所得点数互不相等有30种情况,
所以所求概率为.
故选：B.
8．答案：C
解析：根据对立事件的概念,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.
故选：C.
9．答案：BC
解析：根据题意，A表示事件“”，
即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则，
B表示事件“”，
即第二次抛掷中，正面向上，则，
C表示事件“”，
即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，，
依次解题思路选项：
对于A，事件B、C可能同时发生，则事件B、C不是对立事件，A错误；
对于B，事件A、C可能同时发生，则事件A和C不互斥，B正确；
对于C，事件，即前两次抛掷中，
第一次反面，第二次正面，，
由于，则事件A和B相互独立，C正确；
对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，
第二次正面，，
，事件B、C不是相互独立事件，D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，
所以这组数据的众数为7，中位数是，
所以这组数据的中位数与众数相等，故A正确；
因为，所以这组数据的30%分位数为，
极差为，不相等，故B错误；
若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”的事件包含
，，，，，共六种，
“两个数都大于7”的事件包含，，，
，，共六种，故C正确；
若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”的事件包含
，，，，共五种，
“两个数都大于7”的事件包含，，，共四种，故D错误.
故选：AC.
11．答案：AD
解析：A：由题意知，每次只摸出一个球，
，，
则，所以，对立，故A正确；
B：，
，
则，
所以，不相互独立，故B错误；
C：，故C错误；
D：，，
所以，故D正确.
故选：AD
12．答案：/
解析：这个试验的等可能结果用下表表示:
a 1 1 3 3 5 5 1 1 3 3 5 5
b 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8
c 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 3
d 8 8 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2
e 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1
共有12种等可能的结果,其中的结果有6种,
所以的概率为,
故答案为:.
13．答案：
解析：由题意可知,甲、乙两球都没有落入盒子的概率为,
由对立事件的概率公式可知,甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意将4个数随意排列可先任意选两个位置排上两个2，
再把剩下的两位置上排上1、3，共组成种密码，
若1与3相邻，可将其看成一个整体，
再与两个2共三个元素进行排列，
首先选两个位置排上2，有种排列；
剩余的位置排上1、3，内部排列有种，共种；
所以他设置的密码中1与3相邻的概率为.
故答案为：
15．答案：（1）有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
（2）
解析：（1）由表格数据可得：，
有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
（2）抽取的6名同学中，男生有人，女生有人，
记事件A为“抽取的2名同学中至少有1名女生”，
则，，
即抽取的2名同学中至少有1名女生的概率为.
16．答案：(1)
(2)乙得分均值的最大值为，此时，
解析：(1)记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件，
“甲取篮球”为事件，“乙取红球”为事件，
“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，
则由已知可得，，，，
，，.
由已知，乙胜可以用事件来表示，
根据独立事件以及互斥事件可知，.
(2)由题意知，，，.
用随机变量X来表示乙得分，则X可取0，1，2，3,
则，，，
所以.
所以.
因为，
所以，且，，，
所以，
当且仅当，，时，等号成立.
所以，乙得分均值的最大值为，
此时，，.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，共有24种情况.
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，
分别为，，
，，，，
故其概率为.
(2)至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，
分别为，，，
，，，，
故其概率为.
(3)书包都拿错了包含9个样本点，
分别为，，，
，，，
，，，
故其概率为.
18．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件B，
，
故；
(2)由已知可得，X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2
P
19．答案：(1)；
(2).
解析：(1)将3个红球记为红1,红2,红3,2个白球记为白1,白2,
则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2,红1红3,红1白1,红1白2,红2红3,红2白1,红2白2,红3白1,红3白2,白1白2共10个样本点,
其中2球均为白球事件的样本点只有1个,因此2个球都是白球概率为；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出1个球,将3个红球记为红1,红2,红3,2个白球记为白1,白2,列表如图所示：
第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2
红1 （红1,红1） （红1,红2） （红1,红3） （红1,白1） （红1,白2）
红2 （红2,红1） （红2,红2） （红2,红3） （红2,白1） （红2,白2）
红3 （红3,红1） （红3,红2） （红3,红3） （红3,白1） （红3,白2）
白1 （白1,红1） （白1,红2） （白1,红3） （白1,白1） （白1,白2）
白2 （白2,红1） （白2,红2） （白2,红3） （白2,白1） （白2,白2）
所以搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点,它们出现的可能性相同,
其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个,
所以.
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