10.2 事件的相互独立性--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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10.2 事件的相互独立性--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2024年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射.在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次.若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验.已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为( )
A. B. C. D.
2．已知样本空间含有等可能的样本点,且,,则( )
A. B. C. D.1
3．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A. B. C. D.
4．设甲盒中有4个红球,2个白球;乙盒中有2个红球,4个白球先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”,用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”;再从乙盒中随机取出一球,用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”,则下列结论正确的是( )
A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件C是独立事件
C. D..
5．甲、乙两人进行网球比赛,连续比赛三局,各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为,第三局获胜的概率为,则甲恰好连胜两局的概率为( )
A. B. C. D.
6．一位教授去参加学术会议,他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2,0.5,0.3,现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5,0.2,0.1,则这位教授迟到的概率为( )
A.0.8 B.0.5 C.0.23 D.0.32
7．盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
8．有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )
A.事件B与事件相互独立 B.
C. D.
10．一质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件A为“第一次向下的数字为偶数”,事件B为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是( )
A. B.事件A和事件B互为对立事件
C. D.事件A和事件B相互独立
11．下列说法正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布，则
B.设随机变量X服从正态分布，若，则
C.已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D.若事件A，B满足，，则事件A，B相互独立
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，开关电路中，某段时间内，开关，，开或关的概率均为，且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为________.
13．某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种（顾客的选择相互独立）,则甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为_______________.
14．甲、乙两人独立地破译同一份密码,已知各人能成功破译的概率分别是,,则该密码被成功破译的概率为_____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是.
(1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率;
(2)从甲加工的零件中取两个,从乙加工的零件中取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
16．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，1假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生A，B，C这三人报名民航招飞.
(1)求A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
(2)根据A，B，C这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，设随机变量X为A，B，C这三人中能被招飞院校录取的人数，求X的分布列和数学期望.
17．某学校有1000人,想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者,如果对每个人的血样逐一化验,需要化验1000次,统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组,然后将各组10个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一个人呈阳性,就需要对这组的每个人再分别化验一次.假设某学校携带病毒的人数有10人.（,）
(1)用样本的频率估计概率,若5个人一组,求一组混合血样呈阳性的概率;
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组,问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
18．小张参加某知识竞赛,题目按照难度不同分为A类题和B类题,小张回答A类题正确的概率为0.9,小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍.
(1)求小张在题库中任选一题,回答正确的概率;
(2)已知题库中的题目数量足够多,该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目,若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（,1,2,,10）的概率为,则当k为何值时,最大？
19．在2024年法国巴黎奥运会上,中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌,国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制）,其中每局中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛都是相互独立的.
(1)求比赛只需打三局的概率;
(2)已知甲在前两局比赛中获胜,求甲最终获胜的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：设试验任务不成功的概率是，
所以成功的概率为，
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意,,,,
,
所以事件A与B相互独立,则A与也相互独立,
.
故选：A.
3．答案：A
解析：若按照顺时针方向跳的概率为p，则按逆时针方向跳的概率为2p，可得，解得，即按顺时针方向跳的概率为，按逆时针方向跳的概率为.若青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上满足三次都按逆时针跳或者三次都按顺时针跳.①若按逆时针跳，则对应的概率为；②若按顺时针跳，则对应的概率为，则跳三次之后停在A叶上的概率为.故选A.
4．答案：C
解析：由于甲盒中有6个球,其中有4个红球,2个白球,故,.
如果从甲盒中取出了红球,则在乙盒中取球时,有3个红球,4个白球,故,
如果从甲盒中取出了白球,则在乙盒中取球时,有2个红球,5个白球,故,
同时,我们有.
由于,故A错误;
由于,,故B.错误;
而,,故C.正确,D.错误.
故选:C.
5．答案：B
解析：设甲第i局胜,,2,3,且,,,
所以甲恰好连胜两局的概率
.
故选:B.
6．答案：C
解析：依题意,教授迟到的概率为.
故选:C
7．答案：D
解析：依题意得，，
，故A项错误；
，
，故B项错误；
，故C项错误；
，
，
，故D项正确.
故选：D.
8．答案：B
解析：记AB、BC、CD、DA四边未被擦去分别为事件，，，，则，，，相互独立，且，记“以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点”为事件B，则，所以，故选B.
9．答案：BC
解析：因为，，，
若发生，则乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有3个红球，4个白球和3个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和4个黑球，所以，
所以
，故C正确；
因为，所以，故B正确；
所以，所以事件B与事件不是相互独立，故A错误；
，故D错误；
故选：BC
10．答案：ACD
解析：选项A:.判断正确;
选项B:事件B:第一次向下的数字为偶数,第二次向下的数字为奇数,
则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误;
选项C:,则.判断正确;
选项D:,又,,
则有成立,则事件A和事件B相互独立.判断正确.
故选:ACD.
11．答案：AD
解析：因为随机变量X服从二项分布，
则，故A正确；
因为随机变量X服从正态分布，
则对称轴为，，故B错误；
这组数据的第70百分位数为，故C错误；
因为，
所以，
所以事件A，B相互独立
故选：AD.
12．答案：
解析：设事件分别表示，，闭合，
则，同时闭合或闭合时灯亮，
则灯不亮的概率为,
则这段时间内灯亮的概率为.
故答案为：.
13．答案：
解析：根据某早餐店提供3种套餐,每位顾客可以从中任选一种相互独立,选则每一个套餐的概率为
甲、乙、丙三位顾客选择三种套餐中任何一个套餐的概率为,
甲、乙、丙三位顾客选择同一个套餐的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据题意,甲乙两人能成功破译的概率分别是,,
则密码没有被破译,即甲乙都没有成功破译密码的概率,
故该密码被成功破译的概率.
故答案为：.
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)记事件A：甲机床加工的零件是一等品,事件B：乙机床加工的零件是一等品,
且A与B相互独立,
由题意得,,,所以,
解得,.
(2)记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品,
事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品,则,
所以.
16．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)因为每位报名学生通过前4项流程的概率
依次约为，，且能否通过相互独立，
所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
故A，B，C这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.
(2)因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
且预估A，B，C能被招飞院校录取的概率分别为，，
所以A能被招飞院校录取的概率为，
B能被招飞院校录取的概率为，
C能被招飞院校录取的概率为，
由题知，X的可能取值为0，1，2，3
所以，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
.
17．答案：(1)0.05
(2)10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少,理由见解析
解析：（1）由已知可得,该单位每个人携带病毒的概率为.
所以5个人一组,该组混合血样不是阳性的概率为,
所以,一组混合血样呈阳性的概率为.
（2）设5个人一组,每组需要化验的次数为随机变量X,则,6.
由（1）知,5个人一组,需要重新化验的概率为0.05,
则X的分布列为
X 1 6
P 0.95 0.05
所以,,
总的化验次数为;
设10个人一组,每组需要化验的次数为随机变量Y,则,11.
10个人一组,该组混合血样不是阳性的概率为0.9,则10个人一组,需要重新化验的概率为0.1,
则Y的分布列为
Y 1 11
P 0.9 0.1
所以,总的化验次数为,
所以,10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少.
18．答案：(1)0.6
(2)6
解析：(1)设小张回答A类题正确的概率为,小张回答B类题正确的概率为,
小张在题库中任选一题,回答正确的概率为P,
由题意可得,,
所以,
所以小张在题库中任选一题,回答正确的概率为0.6.
(2)由(1)可得,
设,
即,
所以,
即,
解得,
又,所以时,最大.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)设事件“甲前三局都获胜”,事件“乙前三局都获胜”,
则,
,
比赛只需打三局的概率为：.
(2)甲需要打三局的概率为：,
甲需要打四局的概率为：,
甲需要打五局的概率为：,
则甲最终获胜的概率为：.
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