10.3 频率与概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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10.3 频率与概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( )
A.2% B.3% C.6% D.8%
2．“在线学习”是中小学生疫情防控期间的主要学习手段之一.某市有15万名中小学生，为了解中小学生的在线学习情况，市教育主管部门在全市范围内随机调查了5000名中小学生平均每人每天的在线学习时间x（单位：小时），并按2小时以内和2小时以上（含2小时）两个区间段分组统计学生人数.如图所示的程序框图是统计学生在线学习时间在某个区间段人数的一个算法流程图，其输出的结果为2000.用频率估计概率，则该市中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数估计为( )
A.3万 B.6万 C.9万 D.12万
3．下列命题中正确的是( )
A.有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
B.抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D.掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2
4．从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为( )
A. B. C. D.
5．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则( )
A.正面朝上的概率为0.6 B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6 D.正面朝上的概率接近于0.6
6．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则( )
A.100 B.300 C.400 D.600
7．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了480次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.48，0.48 B.0.5，0.5 C.0.48，0.5 D.0.5，0.48
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.任一事件的概率总在内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的，在试验前不能确定
10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
11．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是( )
A.直方图中
B.此次比赛得分不及格的共有40人
C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D.这100名参赛者得分的中位数为65
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为__________.
13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来1524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为____________石．
14．某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）2013年，北京地区拥有科普人员48800人，其中，科普专职人员7727人，其余均为科普兼职人员.2013年9月的科普日活动中，到某大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到0.01）.
16．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：g）：
125，120，122，105，130，114，116，95，120，134.
从这一堆苹果中，随机抽出一个，则得到的苹果质量落在内的概率可估计为多少？
17．抛一枚均匀的硬币，连续5次都是正面朝上，小华认为抛下一次时，反面朝上的概率大于，你同意吗？为什么？
18．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；
（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；
（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
19．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，设事件“恰好两次正面朝上”，
（1）直接计算事件A的概率；
（2）利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件A发生的频率.
参考答案
1．答案：C
解析：因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，
随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，
因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，
而一年12个月中，奇数的占一半，
所以对第一个问题回答“是”的概率为
所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，
从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”，
所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为.
故选：C.
2．答案：C
解析：根据程序框图，输出的S是5000名中小学生样本中平均每人每天在线学习时间在2小时以上（含2小时）的人数，结果为2000，
故样本中在线学习时间在2小时以内的学生人数为3000，
因此在线学习时间在2小时以内人数的频率为，
用频率估计概率，该市15万名中小学生平均每人每天在线学习时间在2小时以内的人数大约为万.
故选：C.
3．答案：D
解析：对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，
并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，
则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；
对于B，100次并不是无穷多次，
只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误；
对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；
对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2，6的号签，
所以乘积12出现6次，频率为.
故选：B.
5．答案：B
解析：是本次试验中正面朝上的可能性，是频率不是概率.概率是试验次数无限大时频率的稳定值.因此只有B正确.
故选：B.
6．答案：B
解析：当且仅当最高气温低于时，这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.故选B.
7．答案：D
解析：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率.
故选：D.
8．答案：C
解析：由频率的定义，正面朝上的频率；
正面朝上的概率是抛硬币试验的固有属性，为0.5，与试验次数无关.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值，
所以，选项A，B，C是正确的，D是错误的.
故选：ABC.
10．答案：BD
解析：由频率折线图可知，频率在0.3到0.4之间.
选项A，出现正面朝上的概率为，不符合题意，故A错误；
选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故B正确；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错误；
选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：因为，所以，所以A正确；
因为不及格的人数为，所以B正确；
因为得分在的频率为，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为，所以D错误.
故选：ABC.
12．答案：0.65（或）
解析：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：334，221，433，315,142,331,423,212,121,231,312,324,115,共13组,所以甲获胜的频率为,所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65.
故答案为:0.65.
13．答案：168石
解析：由题意,得这批米内夹谷约为石．
14．答案：0.85（或）
解析：A题库占，B题库占，C题库占，则所求概率.
15．答案：0.16
解析：可以算得，2013年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为，
因此张明是科普专职人员的概率可估计为0.16.
16．答案：0.4
解析：10个苹果中，质量落在区间内的有4个，频率，
所以苹果质量落在区间内的概率可估计为0.4.
17．答案：不同意，理由见解析
解析：不同意，掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，
其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，
但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.
18．答案：（1）
（2）0.19
（3）有一定的差距，理由见解析
解析：（1）抛掷两枚骰子，向上的点数有
、、、、、；
、、、、、；
、、、、、；
、、、、、；
、、、、、；
、、、、、.
共36种情况，其中点数和为7的有6种情况，
概率.
（2）
63 51 35 66 42
54 66 42 64 22
46 36 42 26 55
53 51 12 32 24
62 52 32 12 63
61 31 12 22 64
64 12 51 23 52
46 25 32 65 41
31 31 15 43 13
52 42 15 52 26
22 61 65 42 25
14 42 11 25 42
26 62 36 41 62
34 31 31 16 24
64 34 22 45 62
54 16 34 22 64
12 23 54 41 54
52 21 45 35 66
13 65 11 14 41
51 54 32 36 44
52 42 15 52 26
22 61 65 42 25
53 52 16 32 24
62 52 32 12 63
规定每个表格中的第一个数字代表第一个骰子出现的数字，
第二个数字代表第二个骰子出现的数字，
从表格中可以查出点数和为7等于23个数据，
点数和为7的频率为：；
（3）由（1）中点数和为7的概率为，
由（2）点数和为7的频率为：，
一般来说频率与概率有一定的差距，因为模拟的次数不多，不一定能反映真实情况.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，
（正，正，正，正），（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正正），
（反，正，正，正），（反，反，正，正），（反，正，反，正），（反，正，正，反），
（正，反，反，正），（正，反，正，反）.（正，正，反.反）.（正，反，反，反），
（反，正，反，反），（反，反，正，反），（反，反，反，正），（反，反，反，反）.
共有16种等可能的结果
其中恰好两次正面朝上情况共有：6种，
则事件A的概率为：.
（2）利用计算机生成随机数表，如下：
8894 1305 9455 9299 1890
7619 2076 7048 7022 8041
2892 7711 9075 3766 4052
5979 1374 9553 4833 3330
7594 6371 1849 9742 1351
8025 3978 8410 5836 3081
4112 5590 8555 3376 1550
1239 9441 6182 6348 7098
3841 7536 8273 3350 6865
9801 1870 4863 2680 9120
7359 6230 5705 6075 4309
3813 9029 7765 7137 7122
6117 1963 4802 7182 3442
7848 6566 8963 1073 2339
6003 8962 5823 1921 9173
5964 9676 1216 1879 6356
数表中共有80组数据，每组数据有4个随机数，
规定：数据是奇数代表硬币的反面，数据的偶数代表硬币的正面，
由数表可得恰好两次正面朝上的组数有：26，
事件A发生的频率：.
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