第八章 立体几何初步--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试（含解析）

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第八章 立体几何初步--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A. B. C. D.
2．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
3．在正方体中,若平面与平面的交线为l,则( )
A. B.
C.平面 D.平面
4．如图,在正方体中,异面直线与所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
5．某圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
6．如图，在正方体中，，E，F分别是，的中点.用过点F且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为( )
A. B. C. D.
7．如图,正三棱柱的各棱长都为2,E,F分别为、的中点,则EF的长是( )
A.2 B. C. D.
8．若三棱锥的所有棱长都相等，则与所成的角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，，，，则下列结论正确的有( )
A.四面体是鳖臑
B.阳马的体积为
C.阳马的外接球表面积为
D.D到平面PAC的距离为
10．如图,在四棱柱中,M是线段上的动点（不包括两个端点）,则下列三棱锥的体积为定值的是( )
A.三棱锥 B.三棱锥 C.三棱锥 D.三棱锥
11．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是( )
A.弧长度为 B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为 D.三棱锥的体积为5
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为.若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为_________.
13．如图1,菱形的边长为,,将平面,平面同时绕BD向相对方向旋转,当A,C两点之间的距离等于BD时,构成四面体,如图2所示,则BD与AC所成角的大小为________,四面体外接球的表面积为________.
14．如图，中，，，，E，F分别是，边上的点，，将沿折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图,在三棱锥中,平面平面,,M,N分别为,的中点.
（1）求证:平面;
（2）若,求证:平面.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E、F分别为、上的点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面，E为的中点，，，求二面角的正切值.
18．如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，C是的中点，D为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
19．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，.
(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，，求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：设内接圆柱的底面半径为，母线长为h，
则，即，
则该圆柱的全面积为，
因为，
所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.
2．答案：A
解析：设圆半径为r，球的半径为R，依题意，
得，，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球O的表面积.
故选：A
3．答案：D
解析：因为点平面平面,所以.
又因直线平面平面,故得,
所以l是过点B且平行于的直线.
对于A,因为,,所以,故不成立,即A错误;
对于B,因为,而,故不成立,即B错误;
对于C,因为,而平面,故平面不成立,即C错误;
对于D,因为,,所以,
又平面,平面,所以平面,即D正确.
故选:D.
4．答案：B
解析：连接,,因为是正方体,所以和平行且相等,
所以四边形是平行四边形,所以,所以为异面直线与所成的角.
因为是等边三角形,所以
故选:B
5．答案：A
解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，
则，
由题意得，，
∴该圆台的侧面积.
故选：A.
6．答案：A
解析：取的中点M，连接，，，
正方体，平面，
平面，，
F是的中点，，且，
四边形是矩形，
且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
，平面，平面，
平面平面，
即平面为过点F且平行于平面的平面截正方体所得平面，
，，，
.
故选：A.
7．答案：C
解析：取AC的中点M,连结EM,FM,则,,
又平面,而平面,则,
所以．
故选：C．
8．答案：D
解析：如图所示，取中点O，连接，，
因为三棱锥各条棱长均相等，所以，，
因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，即与所成的角是.
故选：D.
9．答案：BD
解析：设，，，
由侧棱底面ABCD，，，，
可得，
解得
即，，.
对于A，由，，
可得不是直角三角形，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，将阳马补形为长为2，宽为1，高为1的长方体，
可知其外接球直径为，
故阳马的外接球半径，
表面积，故C错误；
对于D，设D到平面的距离为h，
由，，
可得的面积为，
由等体积法，
可得，
解得，故D正确.
故选：BD.
10．答案：BC
解析：因为几何体中仅M为动点,
故当三棱锥的体积为定值时,应平行于另外三点所确定的平面,
由四棱柱的性质可得,而平面,平面,
故平面,同理平面即平面,
由四棱柱可得平面,平面,
故AD错误,BC正确,
故选:BC
11．答案：ACD
解析：设弧所在圆的半径为R，弧所在圆的半径为r，
因为弧的长度是弧长度的3倍，
，即，
，，，
所以弧的长度为，故A正确；
曲池的体积为，故B错误；
曲池的表面积为
，故C正确；
三棱锥的体积为，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：连接，交于E，
设F是的中点，连接，
由于，E是的中点，所以，
由于，，
，平面，所以平面，
由于，平面，所以，，
由于E，F分别是，的中点，所以，
由于，所以，
由于，，平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是二面角的平面角，
所以，所以，
由于，所以，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
由于，，平面，
所以平面，且.
由于，所以Q点的轨迹是以为球心，
半径为的球面在四棱柱内的部分，
关于平面的对称点为，
连接，交平面于P，
所以的最小值为.
故答案为：
13．答案：,
解析：取BD的中点N,连接AN,CN,由,,得,,
而,AN,平面ANC,则平面ANC,又平面ANC,
因此,所以BD与AC所成角的大小为;
取AC中点M,连接MN,显然平面ANC,则,
又,则,且,
取MN中点O,连接AO,BO,CO,DO,则,
因此四面体ABCD外接球的球心为O,半径,
所以四面体ABCD外接球的表面积.
故答案为:;
14．答案：
解析：当底面的面积一定时，当平面平面，即平面时，四棱锥的体积最大，设，则，，，，令，，则，令，解得或（舍），当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，即四棱锥的体积最大值为.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
量的夹角公式计算即得.
解析：(1)如图，取的中点F，连结，.
因为E为的中点，所以，.
因为，，
所以，.
即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，
平面，所以平面.
(2)如图，取的中点O，的中点G，
连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，故.
分别以，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
，
则，，，，
故，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．答案：（1）证明见解析.
（2）证明见解析.
解析：（1）在平面中,M,N分别为,的中点,
所以.
又平面,平面,
所以平面.
（2）在平面中,,,
所以.
因为,M为中点,
所以.
又平面平面,平面平面,
所以平面,
因为平面,
所以,
又,平面,平面,
所以平面.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：如图，在上取一点G，
使得，连接、，
因为，且是平行四边形，
所以，故，
又因为平面，平面，所以平面，
因为四边形是平行四边形，则且，
所以四边形是平行四边形，故，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，且、平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
(2)当点E为的中点，平面，
，时，
连接，则为等边三角形，所以，，
以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，.
设平面与平面的法向量分别为，，
则，
取，可得，
，
取，可得，
所以，，
则，
所以，，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的正切值为.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）连接，
，D是的中点，
，
又底面，底面，
，
，平面，
平面，而平面，
平面平面.
（2）因为C是的中点，是的直径，所以，
所以，
所以.
（3）在平面中，过O作于H，
由（1）知，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，，
在平面中，过O作于G，
连接，，平面，
所以平面，又平面，从而.
故为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所以，
故二面角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为与是底面圆弧所对的圆周角，
所以，
因为，所以在等腰中，，
所以，
因为是圆柱的底面直径，所以，
则，
所以，
则，即，
所以在等腰，，
平分，则，
所以，则，
故在中，，
，则，
在中，，
因为是圆柱的母线，所以面，
所以，
，
所以.
(2)以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
，，
则，，，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，故，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，故，
设二面角的平面角为，易知，
所以，
因此二面角的余弦值为.
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