第九章 统计--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试（含解析）

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第九章 统计--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：
得分（X） 6 7 8 9 10
人数 1 2 4 2 1
则这10位选手得分的方差为( )
A.12 B.8 C.0.8 D.1.2
2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生,已知乙班分配到的优秀学生名单为6人,则高三年级三个班优秀学生总人数为( )
A.16 B.30 C.24 D.18
3．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是( )
A.88分 B.84分 C.85分 D.90分
4．在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委.下面是他们给某位选手的打分情况：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则( )
A. B.且
C.且 D.且
5．某商场在今年端午节的促销活动中,对6月9日时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为( )
A.8万元 B.10万元 C.12万元 D.15万元
6．某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
7．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分,目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比,经过对全校300名学生的成绩统计,可得到如图所示的频率分布直方图,则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为( )
A.270 B.240 C.180 D.150
8．设集合，现对M的任意一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为( )
A.501 B.500 C.1002 D.1001
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．某次数学考试后，为解题思路学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步解题思路高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m、、；n、、.记样本平均数为，样本方差为，.
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10．某班语文老师对该班甲 乙 丙 丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数可以是1,2,3,4,5,6,7）进行统计,根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为3,众数为5;
乙：中位数为4,极差为3;
丙：中位数为4,平均数为3;
丁：平均数为3,方差为3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B.甲车以80km/h的速度行驶1h消耗约8L汽油
C.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若五个数a,0,1,2,3的平均数为1,则这五个数的方差等于______________.
13．已知某校高一年级所有学生的体重（单位：kg）,且最大值为98,最小值为44.在制作频率分布直方图时,要对这些体重数据进行分组.若组距为5,则将数据分成___________组为宜.
14．某地有居民5000户，其中普通家庭3500户，高收入家庭500户，低收入家庭1000户.采用分层抽样的方法随机抽取居民调查家庭用电情况，若从普通家庭中抽取到70户，则从低收入家庭中抽取到__________户.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.
(1)求直方图中x的值;
(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若该学校有600名新生,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;
(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.
16．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 10
3 a
2 b
1 23
0 2
(1)当时，
(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.
17．在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是分位数（也称为第一四分位数）与分位数（也称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱形图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数，箱形图中＂箱体＂的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲，乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱形图如图所示.
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个.（直接给出结论即可，不用说明理由）
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的成绩低于128分，求该学生来自甲班和乙班的概率分别是多少？
（3）据统计，两班中成绩高于140分的共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取3人进行学习经验交流，3人中来自己班的人数为X，求X的分布列.
18．2024年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；
（2）中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y（单位：元）的概率分布列，并估计本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）
参考数据：，，.
19．某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人）
A班男生 2 8 15 8
B班男生 3 10 20 4
A班女生 3 4 2 1
B班女生 10 6 4 0
(1)估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值；
(2)求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）；
(3)把成绩在称为及格，成绩在为不及格，根据所有数据完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，解题思路该校考生的物理成绩与性别是否有关？
性别 成绩 合计
及格 不及格
男生
女生
合计
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
参考答案
1．答案：D
解析：依题意，
所以方差.
故选：D
2．答案：C
解析：甲、乙、丙三个班级人数比为,由分层随机抽样知,三个班级优秀学生名额分别为8,6,10,
所以高三年级三个班优秀学生总人数为人.
故选:C
3．答案：A
解析：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为，
所以分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即分.
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意得，，
，
∴.
故选：A.
5．答案：C
解析：由频率分布直方图知,9时至10时的销售额的频率为0.1,故销售总额为（万元）,又11时至12时的销售额的频率为0.4,故销售额为万元.
6．答案：B
解析：根据题意,由分层抽样知识可得：
在高二年级的学生中应抽取的人数为：,
故选：B.
7．答案：B
解析：,解得,
故物理成绩大于等于60分的人数为.
故选：B.
8．答案：D
解析：可设M的非空子集为（，），
又把这样的子集分为两类：①一类满足，这样的子集；
②另一类满足，此时可把两个非空集合与配对，
易知这是两个不同的集合，且都是M的非空子集，它们的最大数与最小数之和是，
所以此时非空子集的的平均数为1001.
综上，M的所有非空子集的特征数的平均数为1001.
故选：D
9．答案：BCD
解析：对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则，解得，A错；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设计该年级学生成绩的中位数为m，则，根据中位数的定义可得，解得，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B对；对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为分，C对；对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，D对.故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A,因为中位数为3,众数为5,所以这7个数从小到大排列后,第4个数是3,所
以1,2,3中一定有一个数出现2次,5出现3次,所以这7个数中一定没有出现7,则A正确.
对于B,因为中位数为4,极差为3,所以这7个数可以是4,4,4,4,4,4,,7,则B错误.
对于C,若出现1个7,则这7个数从小到大排列后,后4个数之和最小为19,前3个数之和最小为3,
从而这7个数的平均数最小为,即这7个数的平均数不可能为3,故C正确.
对于D,设这7个数分别为,,,,,,,
则,
.
若7,则
,
从而,,,,,这6个数可能是4,4,4,4,4,3或4,4,4,4,3,2或4,4,4,3,2,2
或4,4,3,2,2,2或4,3,2,2,2,2或3,2,2,2,2,2,或5,4,3,3,3,3,或5,3,3,3,3,2
或4,3,3,3,3,1或3,3,3,2,1,这与矛盾,
即这7个数中一定没有出现7,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：由题可知，当乙车速度大于时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；
甲车以的速度行驶时，燃油效率为，则行驶1h消耗8L汽油，B正确；
以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；
在机动车最高限速在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D正确；
故选：BD
12．答案：2
解析：,
方差.
故答案为：2.
13．答案：11
解析：因为最大值为98,最小值为44,则,
又组距为5,则将数据分成11组.
故答案为：11.
14．答案：20
解析：由题意可得普通家庭3500户，抽取到70户，
故抽样比为，
故从低收入家庭中抽取到的户数为，
故答案为：20
15．答案：(1)
(2)72名
(3)33.6分钟.
解析：(1)由直方图可得：,解得.
(2)新生上学时间不少于1小时的频率为,
因为,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
(3)由题可知 分钟.
故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.
16．答案：(1)(i)
(ii)
(2)7.
解析：(1)当时，
(i)由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，
这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.
(ii)依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，
这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
X的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以X的数学期望.
(2)由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，
其科普测试成绩记为，则的最大值为69，
100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，
当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，
则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.
17．答案：（1）甲班平均分较高
（2）该学生来自甲班和乙班的概率分别是，
（3）分布列见解析
解析：（1）甲班平均分较高.
（2）由题图可知，甲班中有的学生成绩低于128分，乙班中有的学生成绩低于128分.
设从两班中随机抽取一人，“该学生来自甲班”为事件A，“该学生成绩低于128分”为事件B，
则，，，，
所以，
则，
，
所以该学生来自甲班和乙班的概率分别是，.
（3）依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
18．答案：（1）
（2）分布列见解析，总金额为元
解析：（1）依题意，，
所以，
故
.
（2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为，得分不低于74分的概率为.
Y的所有可能取值分别为10，20，30，40.
，，
，，
所以Y的概率分布为
Y 10 20 30 40
P
所以，
所以本次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额为元.
19．答案：(1)
(2)
(3)答案见解析
解析：(1)由表中数据可知，男生共有，
女生共有，
由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为.
(2)A班共有：人
A班物理平均成绩的估计值为
(3)由表中数据可知，列联表如下：
性别 成绩 合计
及格 不及格
男生 65 5 70
女生 17 13 30
合计 82 18 100
零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关，
根据表格中数据计算得到
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校考生的物理成绩与性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.01.
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