第十章 概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试（含解析）

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第十章 概率--2024-2025学年高中数学人教A版必修二单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某高中开设7门课,3门是田径,某学生从7门中选一门,选到田径的概率为( )
A. B. C. D.
2．从2至6的5个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为( )
A. B. C. D.
3．抛掷两枚质地均匀的骰子，则“抛掷的两枚骰子的点数之和是6”的概率为( )
A. B. C. D.
4．已知随机事件A,B满足,,,则( )
A. B. C. D.
5．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取得红球的概率是,则取得白球的概率等于( )
A. B. C. D.
7．甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为( )
A. B. C. D.
8．某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否”（友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.）问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？“是”□“否”□
学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效.已知问卷中有115张勾选“是”.根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列各对事件中,M、N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件“第1次摸到红球”,事件“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次,事件“第一次为正面”,事件“第二次为反面”
10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子,A表示事件“两次掷出的点数之和是5”,B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”,C表示事件“第一次掷出的点数是5”,D表示事件“至少出现一个奇数点”,则( )
A.A与C互斥 B.
C.B与D对立 D.A与B相互独立
11．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为__________.
13．已知下雨的概率为0.8,则不下雨的概率为____________.
14．某早餐店提供3种套餐，每位顾客可以从中任选一种（顾客的选择相互独立），则甲、乙、丙三位顾客选择同一种套餐的概率为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
16．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否回答正确互不影响.
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
17．为积极响应国家医药卫生体制改革及2024年全国文化科技“三下乡”活动要求,真正让“人民至上”理念落实落地,着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉,不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡,义诊暖人心”的活动.这6名医生中,外科医生、内科医生、眼科医生各2名.
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率;
(2)设X表示选出的3人中外科医生的人数,求X的均值与方差.
18．某环保小组共有5名成员,其中男成员有2人,现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率;
(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.
19．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为，运动达标的女生与男生的人数比为，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，解题思路“运动达标情况”与“性别”是否有关
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生
女生
合计
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式：，.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,从7门中选一门,选到田径的概率为.
故选：C.
2．答案：C
解析：从2至6的5个整数中随机取两个不同的数，
共有种不同的取法，
其中这两个数的和是质数的取法共有4种:，，，
故这两个数的和是质数的概率为.
故选:C.
3．答案：B
解析：抛掷两枚骰子，共有个基本事件，
“抛掷的两枚骰子的点数之和是6”共有5个基本事件，故所求的概率为.
故选：B.
1 2 3 4 5 6
1 ╳ ╳ ╳ ╳ √ ╳
2 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳
3 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳
4 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳
5 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
6 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
4．答案：B
解析：因为,
即,解得.
故选:B
5．答案：B
解析：因连胜两场者赢得比赛，
故要使比赛6场后甲赢得比赛，
则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，
故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：.
故选：B.
6．答案：C
解析：取得红球与取得白球为对立事件,
取得白球的概率P＝.
故选：C.
7．答案：A
解析：依题意，两人中至少有一人通过的概率为.
故选：A
8．答案：A
解析：依题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面是等可能的，
则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数为200人，又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，
则回答第一个问题选择是的人数为，
因此回答第二个问题选择是的人数为人，
所以估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为.
故选：A
9．答案：CD
解析：对于A选项,掷枚质地均匀的骰子一次,事件“出现的点数为奇数”,
事件“出现的点数为偶数”,则事件“出现的点数为奇数且为偶数”,
所以,,又因为,所以,,
所以,M、N不相互独立,A不满足;
对于B选项,袋中有5个红球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,
事件“第1次摸到红球”,事件“第2次摸到红球”,
由题意可知,事件M的发生影响事件N的发生,故M、N不相互独立,B不满足;
对于C选项,分别抛掷枚相同的硬币,事件“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”,
则事件“两枚硬币都正面向上”,则,
又因为,,则,
所以,M、N相互独立,C满足;
对于D选项,一枚硬币掷两次,事件“第一次为正面”,事件“第二次为反面”,
第一次为正面对第二次的结果不影响,因此,M、N相互独立,D满足.
故选：CD.
10．答案：ABD
解析：若两次掷出的点数之和是5,由于每次掷出的点数都在1到6之间,
所以第一次掷出的点数一定小于5,故A与C互斥,故A正确;
“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”,
所以,故B正确;
由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”,故B与D不是对立的,故C错误;
先后两次掷一枚质地均匀的骰子,两次出现的点数组有中等可能的不同情况,“两次掷出的点数之和是5”有,,,共四种不同的情况,
第二次掷出的点数为偶数的情况有,,（,2,3,4,5,6）共18种不同情况,两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有,两种情况,
所以,,,
所以,所以A,B独立,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故A正确；
对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平，故B错误；
对于C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故C正确；
对于D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的，故D正确.
故选：ACD
12．答案：
解析：方法一：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.罗列出“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的基本事件情况：①“3，7，8”和“1，2，4，5，6”；②“4，6，8”和“1，2，3，5，7”；③“5，6，7”和“1，2，3，4，8”共3种情况，所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
方法二：由题意知，从8张卡片中随机抽出3张的基本事件总数为.因为所有数字之和为36，所以要使3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则3张卡片上的数字之和为18.考虑抽出的3张卡片上的数字之和为18，则相当于从，，，，，0，1，2中选择3个数，使其和为0.若中间数为0，则有2种情况；若中间数为1，则有1种情况.所以“抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等”的概率.
13．答案：
解析：由题意可知不下雨的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：根据某早餐店提供3种套餐，每位顾客可以从中任选一种相互独立，选则每一个套餐的概率为
甲、乙、丙三位顾客选择三种套餐中任何一个套餐的概率为，
甲、乙、丙三位顾客选择同一个套餐的概率为.
故答案为：.
15．答案：（1），，
（2）
解析：（1）设事件A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
由题设条件有
即
由①③得，
代入②得，
解得或（舍去）.
将分别代入③、②可得，.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
（2）记事件D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品，
则.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件，
则，，，，
该选手进入第四轮才被淘汰的概率
.
（2）该选手至多进入第三轮考核的概率
.
17．答案：(1)
(2),.
解析：(1)推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数,
这6名医生中,外科医生2名,内科医生2名,眼科医生2名,
设事件A表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”,
表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”,表示“恰好选出2名外科医生”,
,互斥,且,
,,
选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为;
(2)由于从6名医生中任选3名的结果为,
从6名医生中任选3名,其中恰有m名外科医生的结果为,,那么6名中任选3人,
恰有m名外科医生的概率为,
所以,,,
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知该环保小组女成员有3人,记为a,b,c;男成员有2人,记为d,e.
从5名成员随机选出3人的情况有,,,,,,,,,共10种.
所选的3人中恰有1名男成员的情况有,,,,,共6种,
则所选的3人中恰有1名男成员的概率.
(2)所选的3人中至少有2名女成员的情况有,,,,,,共7种,
则所选的3人中至少有2名女成员的概率.
19．答案：（1）表格见解析，“运动达标情况”与“性别”无关.
（2）
解析：（1）2×2列联表为：
性别 运动达标情况 合计
运动达标 运动欠佳
男生 20 5 25
女生 40 35 75
合计 60 40 100
假设：运动达标情况与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为“运动达标情况”与“性别”无关.
（2）已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，
则选中2人中恰有一人是女生的概率为.
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