6.1 平面向量的概念--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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6.1 平面向量的概念--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知四边形中，，并且，则四边形是( )
A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形
2．如图，O是坐标原点，M，N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为( )
A. B. C. D.
3．若在中，，，且，，则的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
4．在中，若，则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5．在边长为1的正三角形ABC中，的值为( )
A.1 B.2 C. D.
6．给出下列结论：①数轴是向量；②角度有正角和负角之分，所以角度是向量.它们的正、误情况是( )
A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①②都正确 D.①②都错误
7．有关向量和向量，下列四个说法中：
①若，则；
②若，则或；
③若，则；
④若，则
其中的正确有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．汽车以的速度向西走了2h，摩托车以的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列叙述中错误的是( )
A.若,则
B.已知非零向量与且,则与的方向相同或相反
C.若,,则
D.在等边中,与的夹角为
10．下列命题不正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.
11．关于非零向量,,下列命题中正确的是( )
A.若,则. B.若,则.
C.若,则. D.若,,则.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若非零向量 满足，有以下结论：①；②；③与同向；④与同向.则以上所有正确结论的序号是___________.
13．下列各量中，是向量的是___________.（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
14．四边形ABCD满足，且，则四边形是________（填四边形的形状）.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
16．（例题）如图所示，找出其中共线的向量，并写出共线向量模之间的关系.
17．如图，已知a是单位向量，求出图中向量b，c，d，e的模.
18．已知，，那么—定成立吗？为什么？
19．（例题）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，四边形中，
因为，可得且，所以四边形为平行四边形，
又因为，可得，
所以四边形为菱形.
故选：A.
2．答案：A
解析：设，的夹角为，，则，，故的范围为.
答案A
3．答案：D
解析：由于，，，所以为等腰直角三角形.
故选：D.
4．答案：B
解析：因为，，
所以，
所以为等边三角形.
故选B.
5．答案：D
解析：因为.
又正三角形ABC边长为1，
所以，，，
所以.
故选D.
6．答案：D
解析：数轴具有方向，但无长度，故不是向量，所以①错误；
角度无方向，只有大小，故不是向量，所以②错误，
故选D.
7．答案：B
解析：①若，则，故①正确；
②若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故②错误；
③若，则向量的长度不一定相等，故③错误；
④若，则，故④正确.
故正确的有①④，共2个.
故选B
8．答案：C
解析：速度与位移是向量，路程是数量，
由向量不能比较大小，数量可比较大小，可得AB错误，C正确，
故选C.
9．答案：ACD
解析：A.向量不能比较大小,故错误;
B.因为非零向量与且,所以与的方向相同或相反,故正确;
C. 当时,满足,,但与不一定共线,故错误;
D.在等边中,与的夹角为,故错误,
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：若，则因为，方向未知，故无法判断，关系，故A错误；
向量有大小也有方向，故向量无法比较，故B错误；
两向量相等，方向相同，大小相等，故相等向量必平行，故C正确；
向量数量积不满足结合律，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，故D错误.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：对于A,不能得到,的方向,故A错误,
对于B,若,则,B正确,
对于C,向量不能比较大小,故C错误,
对于D,若,,则,D正确,
故选:BD
12．答案：④
解析：，A、C、B三点共线，且C在AB线段中间，如图：
故，①②错误；与反向，故③错误；与同向，故④正确.
故答案为：④.
13．答案：③
解析：向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.
故答案为：③.
14．答案：矩形
解析：，且，
则四边形是平行四边形，
又，即该平行四边形对角线长相等，
所以四边形是矩形.
故答案为：矩形.
15．答案：见解析
解析：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
16．答案：见解析
解析：不难看出且，
且，
且.
17．答案：，，，
解析：因为a是单位向量，所以图中小正方形的边长为1；
所以，，
由勾股定理可知，，.
18．答案：不一定，理由见解析
解析：不一定，因为如果，a与c的方向不确定，都有，，
此时不能得到，若，则，.
19．答案：，，
解析：因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，
所以，，.
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