6.2 平面向量的运算--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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6.2 平面向量的运算--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2．如图,在中,,,,则( )
A. B.3 C. D.-3
3．已知平面向量，满足，且，，则，( )
A. B. C. D.
4．已知向量,满足,,与的夹角为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．如图，在四边形中，，，设，，则等于( )
A. B. C. D.
6．在中,,,.若于D,则( )
A. B. C. D.
7．如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则( )
A. B. C.1 D.
8．已知向量，，对任意，恒有，则( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在圆O的内接四边形中，，，，则( )
A. B.四边形的面积为
C. D.
10．已知向量,,,则下列说法正确的是( )
A.的相反向量是
B.若,则
C.在上的投影向量为
D.若,则
11．已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,O为的重心,,,则( )
A. B.
C.的面积的最大值为 D.a的最小值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知,,与的夹角为,则______________.
13．若点P为的重心，，则_________.
14．在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知a，b不共线，从几何上说明当时，一定有.
16．在中，已知，，，求.
17．已知，，，求.
18．当a，b，c都是向量时，是否成立？为什么？
19．已知，，，求.
参考答案
1．答案：B
解析：，
即，
所以，
所以，
∴，
故选：B.
2．答案：A
解析：由题知,
因为,
所以,
又因为,
所以.
故选：A.
3．答案：D
解析：由，
，
，
，
故选：D.
4．答案：D
解析：因为与的夹角为,故,故,
故选:D.
5．答案：C
解析：因为，
所以
.
故选：C.
6．答案：B
解析：由图及题,B,C,D三点共线,则.
又于D,则
.
,
则.
故选:B
7．答案：C
解析：设，
可得，
有，
，
故
，
又由，有，
解得，（舍），
故E，F为边，的中点，
所以为等边三角形，故.
故选：C.
8．答案：C
解析：，，对任意，
恒有，
，
恒成立，
即，
即，.（*）
，
（*）式可化为，
，.
9．答案：ABD
解析：由题意，，故，
在中，由余弦定理，
在中，由余弦定理，
故，解得，又，故
故，解得，A正确；
，B正确；
在中，，
在中，，
，C错误；
，
又
，故，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A,由相反向量的定义,即可得到的相反向量是,故A正确;
对于B,因为,,所以,
又,且,所以,解得,故B错误;
对于C,因为,,所以,,
所以在上的投影向量为,故C正确;
对于D,因为,又,且,
所以,解得,故D错误.
故选：AC.
11．答案：BC
解析：O是的重心,延长交于点D,则D是中点,
,A错;
由得,
所以,
又,即
所以,所以,当且仅当时等号成立,B正确;
,当且仅当时等号成立,,
,C正确;
由得,
所以
,
,当且仅当时等号成立,所以a的最小值是,D错.
故选：BC.
12．答案：1
解析：因为,,与的夹角为,
所以,
故答案为：1.
13．答案：
解析：设点D为边上的中点，
因为点P为的重心，所以，
则，
所以，所以，
因为，
所以，
即，
因为，不共线且，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
不妨设，，
则.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，所以，
所以，
因为B，P，D三点共线，
所以.
故答案为：.
15．答案：证明见解析
解析：设，，以，所在线段作平行四边形ABCD（如图），
则，，则向量转化为.
因为，，
所以，.
16．答案：
解析：，，
即，.
17．答案：
解析：
.
18．答案：不一定成立，理由见解析
解析：不一定成立.
表示一个与c共线的向量，
而表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.
19．答案：
解析：，
，.
.
另解：.
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