6.3 平面向量基本定理及坐标表示--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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6.3 平面向量基本定理及坐标表示--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量a，b满足，，且，则( )
A. B.1 C.2 D.3
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则等于( )
A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86
3．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B.2 C. D.
4．已知向量，，则实数m的值为( )
A.1 B. C.- D.-1
5．已知向量，，若，则( )
A.-1 B. C. D.1
6．已知向量,,若,则实数的值为( )
A.2或 B.或 C.2或 D.或
7．已知向量,,若与平行,则( )
A. B.6 C. D.
8．已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A., B.,
C., D.,
10．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则( )
A.存在点M，使 B.
C.的最小值为 D.周长的最大值为8
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．向量在向量上的投影向量为，则_________.
13．已知向量,,,若,则在上的投影向量为________.
14．设,向量,,若,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）已知点，，，求的余弦值.
16．（例题）如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标.
17．求证：对任意实数k，向量与向量垂直.
18．求与下列向量垂直的单位向量.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．已知向量，，若a与b的夹角为锐角，求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：方法一：因为，，所以，因为，所以，解得.故选D.
方法二：因为，所以，即，因为，，所以，解得.故选D.
2．答案：D
解析：随机变量X服从正态分布，
且，所以，
，所以，
故选:D.
3．答案：A
解析：在向量上的投影向量为.
.
故选：A
4．答案：C
解析：，，
，
，
即，解得，
故选：C
5．答案：C
解析：向量，，
则，而，
所以，解得.
故选：C
6．答案：A
解析：由题意可知.因为,,
所以,整理得,解得或.
故选:A.
7．答案：C
解析：由向量,,可得,,
由与平行,可得:,解得:,
故选:C.
8．答案：A
解析：因，，
故，
又，故得
故选：A.
9．答案：BC
解析：A选项:,与共线,A错误;
B选项:,与不共线,B正确;
C选项:,与不共线,C正确;
D选项:,与共线,D错误;
故选:BC.
10．答案：BCD
解析：由,得,即,解得或,则A错误,B正确;由,得,解得,则C,D正确.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：因为椭圆C的方程为，所以左顶点，右顶点，左焦点.当点M位于短轴端点时，最大，即，所以此时，，所以，又因为，所以，所以椭圆上不存在点M，使，所以选项A错误.设，则，，且，，，所以，，，，，，即，所以选项B正确.，所以，，所以，，，所以当时，取得最小值，且最小值为，所以选项C正确.因为椭圆的离心率，，所以根据椭圆的对称性，不妨令，则，，所以的周长为，因为点M在椭圆上，所以令，，其中且，所以的周长，当，，即时，的周长取得最大值，且最大值为8，所以选项D正确.综上，选BCD.
12．答案：2
解析：因为向量在向量上的投影向量为
，
所以.
故答案为：2
13．答案：
解析：因为,,所以,
又,所以,解得,
因为,所以在上的投影向量为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得,解得,
故答案为:.
15．答案：
解析：因为，
，
所以，
，
，
因此.
16．答案：
解析：由已知可得，.
又因为，设，则，从而有
解得或
又因为由图可知，所以.
17．答案：证明见解析
解析：，，
向量与向量垂直.
18．答案：（1）或
（2）或
（3）或
（4），
解析：（1）与共线的单位向量为或，
与垂直的单位向量为或；
（2）与共线的单位向量为或，
与垂直的单位向量为或；
（3）与共线的单位向量为或，
与垂直的单位向量为或；
（4）与共线的单位向量为或，
与垂直的单位向量为，.
19．答案：
解析：与b的夹角为锐角，且a，b不同向，
且，的取值范围为.
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