6.4 平面向量的应用--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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6.4 平面向量的应用--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在平行四边形中,点是的中点,点分别满足,设,,若,则( )
A. B.
C. D.
2．在中,若,则的形状为( ).
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
3．在中,若,且,那么一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
4．将向量绕坐标原点O逆时针旋转得到,则( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5．一个质点受到平面上的三个力,,（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态,已知,成60°角且,,则( )
A.6 B.2 C. D.
6．已知在四边形中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7．已知O为坐标原点，点M的坐标为，点N的坐标满足，则的最大值为( )
A. B.11 C.6 D.13
8．已知一个三角形的三边分别为a，b和，则最大角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在中，，，点D，G分别边，上，点E，F均在边上，设，矩形的面积为S，且S关于x的函数为，则( )
A.的面积为 B.
C.先增后减 D.的最大值为
10．在梯形中,,,,,,则( )
A. B. C. D.
11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于，有如下判断，其中正确的是( )
A.若，则为等腰三角形
B.若为锐角三角形，且，则
C.若，，，则符合条件的有两个
D.若，则是钝角三角形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为__________.
13．如图所示,CD是某校园内一标志性雕像,小明同学为了估算该雕像的高度,在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B,M,D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°,假设AB、CD和点M在同一平面内,则小明估算该雕像的高度为________米.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知__________.
(1)求C.
(2)设O为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，，求的面积.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，求a的最小值.
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求
(2)若边上的高为2，，求a，b.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长.
19．长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.
（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
参考答案
1．答案：A
解析：因为点E是的中点,,,
所以,
;
因为,
所以
,
则,故A正确.
故选：A.
2．答案：D
解析：由正弦定理和余弦定理可得:
即为
,
化简可得:,
故或即,故为等腰三角形或直角三角形.
故选:D.
3．答案：D
解析：因为,则,
因为A,,则,所以,则,
又因为,,则,
则,即,即,
又因为A,,则,所以,即.即一定是等边三角形,故D正确.
4．答案：B
解析：因为,且,
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：物体处于平衡状态,,即,
.
6．答案：D
解析：在中，由，
且，可得，
由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意可得，，
令，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：
三条直线的交点分别为，，，
因为z表示直线的纵截距的2倍，
所以当直线经过点时，取得最大值，
即.
故选：B.
8．答案：B
解析：∵一个三角形的三边分别是a，b和，
又，，
∴为最大边，
由余弦定理可得，
，故此三角形中的最大角为，
故选：B.
9．答案：ACD
解析：取的中点N，连接，
则，且，
所以的面积为A正确
过C作，垂足为H，设与交于点M，
由等面积法可得，
则.由，
得，
则，
所以，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，B错误，C，D均正确
故选：ACD
10．答案：ABD
解析：在中,,,
则,,
由正弦定理知,
即,故A正确;
,
,,
,故B正确;
,故C错误;
,
故,即,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，若，则，整理得，所以为等腰三角形，故A正确；对于B，若为锐角三角形，且，则，所以，所以，故B正确；对于C，，，，由余弦定理可得，所以符合条件的只有一个，故C错误；对于D，由及正弦定理，得，所以，所以，所以是钝角三角形，故D正确.故选ABD.
12．答案：
解析：如图由的内心为可知该内切圆的半径为，
设该内切圆与的三边的切点为M，N，Q,所以,
又，所以,,
设，，
在中由余弦定理可得：，
化简得：
由的内心为可知，
在椭圆中易知,即，即，
联立，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
13．答案：
解析：在中,,解得,
其中
,
在中,,,
所以,由正弦定理得,,
故.
在中,,所以,
估算该雕像的高度为米.
故答案为:
14．答案：/
解析：在中，由及正弦定理，得，
而，所以.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2).
解析：（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因为，
所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以.
（2）连接，，
因为点O是内心，所以，.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，
即，解得，
所以.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)
由正弦定理得：
，
又，，
，
；
(2)，，
由余弦定理得：
，
当且仅当时等号成立，
，即a的最小值为.
17．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)由正弦定理有，
有，
又由余弦定理有；
(2)由得，
又由余弦定理和，有，
，
又由边上的高为2，有，
有，可得，
有，
可得，
联立方程组，
解得或.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由正弦定理得.两边除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理为，
上式因式分解为，
解得或（舍去），
又由，可得；
(2)由有，
又由，可得，
有，可得，
又由的面积为及，有，
代入，可得，，
又由，
有，
代入，可得，
在中，由余弦定理，有
，
有的周长为.
19．答案：（1）F在距离左侧约千米处
（2）当时，游船能垂直到达对岸.即需要航行小时
解析：（1）如图，建立平面直角坐标系，并确定和的位置.
，.
，则直线AF的方程为，
令，得到F点的坐标为，
所以F在距离左侧约千米处.
（2）要使游船能垂直到达对岸，即与垂直，也即，
所以，即，
所以，解得，
所以，当时，游船能垂直到达对岸.
，
即需要航行小时.
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