8.1 基本立体图形--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练（含解析）

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8.1 基本立体图形--2024-2025学年高中数学人教A版必修二课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列几何体为旋转体的是( )
A.三棱锥 B.四棱台 C.五棱柱 D.圆柱
3．棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为( )
A. B. C. D.
4．已知正项等差数列满足,则( )
A.2 B. C. D.
5．如图,在棱长为1的正方体中,已知P,M分别为线段,上的动点,N为的中点,则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
6．在侧棱长为2的正三棱锥中,点E为线段上一点,且,则以A为球心,为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为( )
A. B. C. D.
7．已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为( )
A. B. C. D.π
8．已知正方体的棱长为2,P为的中点,过A,B,P三点作平面,则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即,,,则下列结论正确的是( )
A.四面体ABCD每组对棱相互垂直
B.四面体ABCD每个面的面积相等
C.从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于且小于
D.连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
10．正方体的棱长为6,P,Q分别是棱,的中点,过P,Q,C作正方体的截面,则( )
A.该截面是五边形
B.四面体外接球的球心在该截面上
C.该截面与底面夹角的正切值为
D.该截面将正方体分成两部分,则较小部分的体积为75
11．如图①，在等腰梯形ABCD中，，，，，，现将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达的位置，且平面平面BCFE，连接，，如图②，则( )
A.
B.平面平面
C.多面体为三棱台
D.直线与平面BCFE所成的角为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______________.
13．设地球的半径为R,若A在北纬的纬线图上,则此纬线圈构成的小圆面积为_______________.（结果用R表示）
14．如图所示，在侧棱长为的正三棱锥中，，过A作截面，周长的最小值为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．判断下列命题的真假.
（1）四棱柱一定是平行六面体；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；
（3）直平行六面体一定是长方体；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
16．设计3个不同的平面图形，使它们都能围成同一个正方体.
17．用一个平面截半径为的球，截面面积是，求球心到截面的距离.
18．写出四面体中任何两个面所在平面的位置关系.
19．（1）已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长为1的等腰梯形，求圆台的高.
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.
参考答案
1．答案：A
解析：如图
设圆的半径为r，则底面圆的周长为
由题意得：弧BC长度为
可得，解得
故选：A
2．答案：D
解析：根据旋转体的定义知,圆柱为旋转体.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题意可得OP的最小值为点O到线段的距离，
在平面内过点O作于点P，
由题意可得，，，平面，
因为平面，
则，因为，
故，
即.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为为等差数列,所以,,
则,
所以,
从而,
故,
故选：C.
5．答案：B
解析：设的中点为O,连接（P不与点B重合）,,,,所以,所以,
把平面与平面展开并推平,如图,在平面图形中连接,交于点M,交于点P,此时的周长取得最小值,
在中利用余弦定理可得,
所以的周长的最小值为.
故选：B.
6．答案：C
解析：取中点F,连接、,则有,,
又,、平面,故平面,
又平面,故,又,
,、平面,故平面,
又、平面,故,,
由正三棱锥的性质可得、、两两垂直,
故,即以A为球心,为半径的球面与侧面的交线长为：
,即与该三棱锥三个侧面交线长的和为.
故选：C.
7．答案：C
解析：依题意直线必过正方体的体对角线的交点，
当直线经过正方体对面中心时，正方体绕直线旋转时，与自身重合；
当直线经过正方体的体对角线时，
如图，连接，，，此时三角形为等边三角形，
设正方体的体对角线与面交于点M，则M为的中心，连接，，则，
则正方体绕直线旋转时，与自身重合；
当直线穿过正方体的对棱中点时，正方体绕直线旋转时，与自身重合；
其它情况，正方体绕直线旋转时，与自身重合；
故选：C.
8．答案：D
解析：正方体的外接球球心是的中点O,而,则点O到平面的距离h等于点到平面的距离的一半,又平面过线段的中点P,因此点与点D到平面的距离相等,由平面,,得平面,
在平面内过D作于E,而平面,于是,又,从而,又球O的半径,
则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径r,有,所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积.故选:D.
9．答案：BD
解析：对A,易得四面体可放入一个长方体中,如图.
若四面体每组对棱相互垂直,不妨设,根据长方体的性质有,
则长方体侧面矩形为正方形,这不一定成立,故A错误.
对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B正确.
对C,若四面体为正四面体,则从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角均为,则和为,故C错误.
对D, 根据长方体的对称性可知, 四面体每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段,,相互垂直平分且交于长方体的中心O.故D正确.
综上,BD正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对于A,如图①所示,延长交的延长线于M,延长交的延长线于H,
连接交于N,连接交于K,
连接,,则五边形为平面截正方体所得的截面,故A正确;
对于B,如图②所示,设三棱锥底面外心为,
三棱锥外接球球心为O,
且,,,
在中,,,
所以外接圆半径为,
所以在中,三棱锥外接球半径
,
所以三棱锥外接球球心O到P,Q,C三点的距离都为R.
在中,,,
所以外接圆半径,
所以四面体外接球的球心不在该截面上,故B错误;
对于C,如图③所示,以,,分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,
且正方体边长为6,即,,,
所以,,
设为平面的法向量,则,取,,
所以,
又因为平面,
故为平面的法向量,
则,
,,故C正确;
对于D,如图④所示,取中点G,连接,
因为,所以,即,
又因为,所以,即,
同理,由得,
由得,
所以,
,
,
,
,
所以该截面将正方体分成两部分,较小部分体积为,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为平面平面BCFE，平面平面，，平面BCFE，所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；
对于C，因为，，则，所以多面体不是三棱台，故C错误；
对于D，延长，相交于点G，因为平面平面BCFE，平面平面，，平面，所以平面BCFE，则为直线与平面BCFE所成的角.
因为，所以，即，
解得，则，所以，
则，故D正确.故选ABD.
12．答案：
解析：作出该图形的一个最大的水平截面正八边形,如图,其八个顶点都在边长为1的正方形上,设“半正多面体”棱长为a,则,解得,
故答案为：.
13．答案：
解析：如图所示：
则点A所在小圆半径,
所以小圆的面积为.
故答案为：.
14．答案：6
解析：如图，将三棱锥沿侧棱剪开，
并将其侧面展开平铺在一个平面上，
则线段的长即为所求的周长的最小值.
取的中点D，连接，
则，.
在中，，
则，
即周长的最小值为6.
故答案为：6.
15．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
解析：（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题；
（3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题.
16．答案：见解析
解析：正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构（如图（1）），即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构（如图（2）），即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构（如图（3）），即第一行放2个正方形，第二行放3个正方形，第三行放1个正方形；第四种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图.
17．答案：
解析：如图所示为球的大圆，其中O为球心，AB为截面圆直径，为截面圆圆心，
由题意知.
，.
在中，，
即球心到截面的距离为.
18．答案：相交
解析：四面体即为三棱锥，任何两个面所在平面都有交线，故四面体中任何两个面所在平面都相交.
19．答案：（1）
（2）9
解析：（2）设圆台的母线长为y，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x，4x，
根据相似三角形的性质得，，解得.
因此，圆台的母线长为9.
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