2024-2025学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣1，3 D．1，﹣3
3．（3分）反比例函数y的图象位于（　　）
A．第一，二象限 B．第一，三象限
C．第二，三象限 D．第二，四象限
4．（3分）某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，AC＝3，线段AE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．（3分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（　　）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度ρ随着气体的体积v的增大而增大
C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3
D．当ρ＝4kg/m3时，v＝3m3
9．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BM＝2，则线段CM的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点P将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点P叫做线段AB的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台AB长20米，主持人从舞台一侧B进入，设她至少走x米（BP的长为x米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．20x2＝20﹣x
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．）
11．（3分）已知点P（﹣5，﹣1）在反比例函数的图象上，则m的值是　 　．
12．（3分）在△ABC和△DEF中，，若DE＝7cm，EF＝5cm，FD＝8cm，则△ABC的周长是　 　cm．
13．（3分）从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：℃），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为 　 　．
14．（3分）已知方程x2﹣5x+a＝0的一个根是x＝2，则a的值是 　 　．
15．（3分）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为　 　（答案写成1：m的形式）．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D是边AC上的动点，当∠BDC＝　 　°时，△ABC∽△BDC．
17．（3分）在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1）．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到△OA'B'，则点A的对应点A′的坐标是　 　．
18．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上，则∠BAO的正切值为 　 　．
三．解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）2024+2cos30°+（2024﹣π）0﹣2tan45°．
20．（6分）近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝10，AD＝6，求AE的长．
22．（8分）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干AB搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CD，用绳子拉直CE后系在树干AB上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若CE＝CF＝3米，CD⊥EF于点O
（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
（1）天晴时打开“天幕”，若∠ACF＝150°，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数）
（2）下雨时收拢“天幕”，∠ACF由150°减小到120°，求点O下降的高度．（结果保留一位小数）
23．（9分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是　 　，类别D所对应的扇形圆心角的度数是　 　度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
24．（9分）如图，反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数．
（3）当y1≥y2时，x的取值范围为　 　．
25．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”．
（1）下列方程是“二倍根方程”的有　 　；（填序号即可）
①x2+6x+8＝0；②x2﹣2x＝0；③x2+3x﹣18＝0．
（2）如果关于x的方程x2﹣9x+c＝0是“二倍根方程”，求c的值；
（3）如果点（p，q）在反比例函数的图象上，那么关于x的方程px2﹣3x+q＝0是“二倍根方程”吗？请说明理由．
（4）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“二倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关系．
26．（10分）综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知△ABC和△DEF均为等边三角形，O是BC和DF的中点，将△DEF绕点O顺时针旋转．
猜想证明：
（1）如图①，在△DEF旋转的过程中，当点D，点F在线段BC上，且点E在△ABC的内部时，试猜想线段AE与线段CF的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，在△DEF旋转的过程中，当点E恰好落在边AC上时，连接CF，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由；
（3）如图③，若AB＝4，，连接BF，设DE所在直线与BC所在直线交于点M，在△DEF旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时BF的长．
2024-2025学年湖南省湘潭市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B D B B C D A
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵，
∴设a＝3x，b＝2x，
∴．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程2x2＝x﹣3的二次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣1，3 D．1，﹣3
【解答】解：一元二次方程2x2＝x﹣3可化2x2﹣x+3＝0，二次项系数和常数项分别是2，3．
故选：B．
3．（3分）反比例函数y的图象位于（　　）
A．第一，二象限 B．第一，三象限
C．第二，三象限 D．第二，四象限
【解答】解：依题意有k＝﹣4＜0，图象位于第二、四象限．
故选：D．
4．（3分）某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　）
A．4名 B．6名 C．8名 D．10名
【解答】解：∵某班有30名男同学、20名女同学，随机抽取10名同学，
，
故选：B．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝17 C．（x+3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
【解答】解：移项，得x2﹣6x＝﹣8，
配方，得x2﹣6x+32＝﹣8+9，
即（x﹣3）2＝1．
故选：D．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∴cosB．
故选：B．
7．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，AC＝3，线段AE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
根据平行线分线段成比例定理可得：AC：CE＝BD：DF＝1：2，
∵AC＝3，
∴CE＝2AC＝6，
∴AE＝AC+CE＝9，
故选：B．
8．（3分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（　　）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度ρ随着气体的体积v的增大而增大
C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3
D．当ρ＝4kg/m3时，v＝3m3
【解答】解：设，
将（2，5）代入得，
解得k＝10，
∴，故A选项错误，不符合题意；
容器内气体密度ρ随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意；
将ρ＝8代入得，解得：v＝1.25，
∴当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3，故C选项正确，符合题意；
将ρ＝4kg/m3代入得，解得v＝2.5m3，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BM＝2，则线段CM的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC，
∴△DEF∽△BMF，
∴，
∵BM＝2，
∴DE＝4，
∴BC＝8，
∴CM＝BC+BM＝10．
故选：D．
10．（3分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点P将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点P叫做线段AB的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台AB长20米，主持人从舞台一侧B进入，设她至少走x米（BP的长为x米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．20x2＝20﹣x
【解答】解：∵B＜PA，
PB＝x米，故PA＝（20﹣x）米，
∴，
故（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．）
11．（3分）已知点P（﹣5，﹣1）在反比例函数的图象上，则m的值是　5　．
【解答】解：∵点P（﹣5，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴m＝5，
故答案为：5．
12．（3分）在△ABC和△DEF中，，若DE＝7cm，EF＝5cm，FD＝8cm，则△ABC的周长是　25　cm．
【解答】解：根据比的基本性质计算如下：
，DE＝7cm，EF＝5cm，FD＝8cm，
∴，，AC＝10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝25cm，
故答案为：25．
13．（3分）从某地某一个月中随机抽取5天的中午，记录这5天12时的气温（单位：℃），结果如下：22，32，25，13，18，可估计该地这一个月中午12时的平均气温为 　22℃　．
【解答】解：∵，
∴可估计该地这一个月中午12时的平均气温为22℃，
故答案为：22℃．
14．（3分）已知方程x2﹣5x+a＝0的一个根是x＝2，则a的值是 　6　．
【解答】解：由题意可知：22﹣5×2+a＝0，
解得a＝6，
故答案为：6．
15．（3分）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．若该传送带把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，那么传送带和地面所成斜坡的坡度i为　　（答案写成1：m的形式）．
【解答】解：把某物体从地面传送到离地面10米高的地方，该物体所经过的路程恰好是20米，如图，
根据题意知AB＝20米，AC＝10米，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡度，
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D是边AC上的动点，当∠BDC＝　70　°时，△ABC∽△BDC．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BDC＝70°时，
∠C＝∠C，∠BDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△BDC．
故答案为：70．
17．（3分）在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1）．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到△OA'B'，则点A的对应点A′的坐标是　（3，6）或（﹣3，﹣6）　．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到△OA'B'，A（1，2），
∴点A的对应点A′的坐标是：（3，6）或（﹣3，﹣6）．
故答案为：（3，6）或（﹣3，﹣6）．
18．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上，则∠BAO的正切值为 　．　．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点B，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵顶点A，B分别在两个反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故答案为：．
三．解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）2024+2cos30°+（2024﹣π）0﹣2tan45°．
【解答】解：原式
．
20．（6分）近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？
【解答】解：设年平均增长率为x，
∵某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，
∴400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ADB∽△AED．
（2）若AB＝10，AD＝6，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
又∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED；
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AB＝10，AD＝6，
∴，
故AE＝3.6．
22．（8分）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干AB搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CD，用绳子拉直CE后系在树干AB上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若CE＝CF＝3米，CD⊥EF于点O
（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
（1）天晴时打开“天幕”，若∠ACF＝150°，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数）
（2）下雨时收拢“天幕”，∠ACF由150°减小到120°，求点O下降的高度．（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）∵CE＝CF，且CD⊥EF，
∴CD平分∠ACF，EF＝2EO，
∵∠ACF＝150°，
∴，
在Rt△CEO中，EO＝CE sin∠ACO，
∵CE＝3米，
∴EO＝3×0.966＝2.898（米），
则EF＝2EO＝5.796≈5.8（米），
故遮阳宽度EF为5.8米．
（2）∵在Rt△CEO中，OC＝CE cos∠ACO，
∴OC＝3×0.259＝0.777米，
当∠ACF从150°变为120°，
如图所示：CE旋转到CE′，
则CE′＝CE＝3，
过点E′作E′H⊥CD交CD于点H，则∠E′CH＝60°，
∵在Rt△E′CH中，CE＝CE′cos60°，
∴CH＝1.5米，
∵OH＝CH﹣OC，
∴OH＝1.5﹣0.777＝0.723≈0.7（米），
∴O点下降到H点的距离为0.7米．
23．（9分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　50　名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是　32　，类别D所对应的扇形圆心角的度数是　57.6　度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（人），
故答案为50；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），
D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
（3）32%，即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角的度数360°57.6°，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
24．（9分）如图，反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）若一次函数y2＝ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数．
（3）当y1≥y2时，x的取值范围为　x≤﹣2或0＜x≤1　．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为1，点D的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，
设A（1，m），D（n，﹣1），
∴，
∴m＝2，
∴A（1，2），
反比例函数和一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A和点D，将点A的坐标代入中，得：k＝2，
∴，
将点D的坐标代入中，解得：n＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣1），
将点A，点D的坐标代入y2＝ax+b中，得：
，
解得，
∴y2＝x+1；
（2）在y2＝x+1中，令y2＝0，解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∵AB⊥x轴于点B，且BC＝AB＝2，
在Rt△ACB中，∠ACO＝∠BAC＝45°；
（3）∵点A（1，2），D（﹣2，﹣1），
∴当x≤﹣2或0＜x≤1时，y1≥y2，
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤1．
25．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”．
（1）下列方程是“二倍根方程”的有　①　；（填序号即可）
①x2+6x+8＝0；②x2﹣2x＝0；③x2+3x﹣18＝0．
（2）如果关于x的方程x2﹣9x+c＝0是“二倍根方程”，求c的值；
（3）如果点（p，q）在反比例函数的图象上，那么关于x的方程px2﹣3x+q＝0是“二倍根方程”吗？请说明理由．
（4）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“二倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关系．
【解答】解：（1）解方程可得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
∵﹣2×2＝﹣4，
∴①x2+6x+8＝0是“二倍根方程”；
解x2﹣2x＝0可得：x1＝0，x2＝2，
∵0×2＝0≠2，
∴②x2﹣2x＝0不是“二倍根方程”；
解x2+3x﹣18＝0可得x1＝﹣6，x2＝3，
∵3×2＝6≠﹣6，
∴③x2+3x﹣18＝0不是“二倍根方程”；
（2）依题意可设关于x的方程的两个根为x1，2x1，
则：x1+2x1＝9，，
∴x1＝3，c＝18；
（3）是“二倍根方程”，理由如下：
∵点（p，q）在反比例函数的图象上，
∴，
∴方程px2﹣3x+q＝0化为方程，
整理得（px﹣2）（px﹣1）＝0，
解得，，
∴方程px2﹣3x+q＝0是“二倍根方程”；
（4）根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为t和2t，
由根与系数的关系可得：，，
消去t可得2b2﹣9ac＝0．
∴a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac＝0．
26．（10分）综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知△ABC和△DEF均为等边三角形，O是BC和DF的中点，将△DEF绕点O顺时针旋转．
猜想证明：
（1）如图①，在△DEF旋转的过程中，当点D，点F在线段BC上，且点E在△ABC的内部时，试猜想线段AE与线段CF的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，在△DEF旋转的过程中，当点E恰好落在边AC上时，连接CF，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由；
（3）如图③，若AB＝4，，连接BF，设DE所在直线与BC所在直线交于点M，在△DEF旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时BF的长．
【解答】解：（1）；
证明：连接OE，如图①，
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，O是BC和DF的中点，
∴AO⊥BC，OE⊥DF，即OE⊥BC，
∴点A，E，O在同一直线上，
∴，
∴EF＝2OF，AC＝2OC，
在直角三角形AOC中，由勾股定理得：，
同理，，
∴；
（2）；
证明：连接AO，EO，如图②，
∵△ABC，△DEF均是等边三角形，
∴∠ACO＝∠EFO＝60°，
∵点O为BC，DF的中点，
∴∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵由（1）知，
∴，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∴；
（3）此时BF的长为或．理由如下：
分两种情况讨论：
情况一：如图①，当点B，F，E在同一直线上，连接CD，
∵点O为BC，DF中点，
∴BO＝CO，DO＝FO，
∵∠BOF＝∠COD，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF＝CD，∠OBF＝∠OCD，
∴BE∥CD，
∴△CDM∽△BEM，
∴，
∵点M为OC的中点，点O为BC中点，
∴，
∴，
即，
解得：；
情况二：∵△DEF为等边三角形，
∴ED＝EF，
∵点O为BC，DF中点，BC＝4，
∴BO＝2，EO⊥DF，
如图②，当点O为MC中点时，MO＝CO＝2，
∵等边△DEF边长为，
在Rt△OED中，由勾股定理得：，
∴MO＝OE＝BO＝2，
∵此时B，E，F三点共线，
∴点B和点E重合，
又∵点M是直线DE与直线BC的交点，
∴B，E，M三点重合，
∴此时BF的长为EF的长，
即，
综上所述，此时BF的长为或．
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