江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试题

2015～2016学年度第二学期期中考试
高 二 数 学 试 题 (理)2016/5/2
考试时间：120分 满分：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1. =，则n= ▲ ．
2. 掷一枚骰子，出现的点数X是一随机变量，则P(X>5)的值为 ▲ ．
3．设异面直线 的方向向量分别为,则异面直线所成角的大小为 ▲ ．
4．不等式的解为 ▲ ．
5．二项式(2x－3y)9的展开式中系数绝对值之和为 ▲ ．
6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个，用X表示这10个村庄中交通方便的村庄数，若，则a= ▲ ．
7. 已知：,其中为实常数,则 ▲ ．
8．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成没有重复数字的五位奇数的个数为 ▲ （用数字作答）
9．点C(4a＋1，2a＋1,2)在点P(1,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1, 4)确定的平面上，则a＝ ▲ .
10．2010年上海世博会某接待站有10 ( http: / / www.21cnjy.com )名学生志愿者，其中4名女生，现派3名志愿者分别带领3个不同的参观团，3名带领志愿者中同时有男生和女生，共有 ▲ 种带领方法．
11．已知随机变量ξ的分布列为
ξ -2 -1 0 1 2 3
P
若P(ξ2 >x)= ，则实数x的取值范围是 ▲ ．
12．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ▲ （用数字作答）．
13．9192被100除所得的余数为 ▲ ．
14．化简：= （用m、n表示）．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）
15．（本小题满分14分）
（请用空间向量解决问题）如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，AC=BC,点是侧面的中心，，在棱上，且MC=2BM=2，
（1）证明
（2）求OM的长度。
16．（本小题满分14分）
一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率均为，购买B种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布
17．（本小题满分14分）
在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求此常数项是第几项；
（2）求的范围.
18．（本小题满分16分）
某市开展支教活动，有五名教师被随机地分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少分一名教师．
（1）求甲、乙两名教师同时分到一个中学的概率；
（2）求A中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列．
19．（本小题满分16分）
直三棱柱中，，，，，.
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求实数的值.
20．（本小题满分16分）
已知各项均为整数的数列满足≤1，1≤≤，.
（1）若=1，=2，写出所有满足条件的数列；
（2）设满足条件的的个数为
①求和；
②若，试求的最小值.
2015～2016学年度第二学期期中考试
高 二 数 学 答 案
一、填空题
1． 2或16
2． 1/6
3． 600
4． 3或4
5． 59
6． 6
7． ___ 1024 ______．
8． 288
9． ___8_________.
10． 576
11． 4≤x<9
12． 6
13． 81
14． （用m、n表示）
二、解答题
15．（1）略
（2）
16．解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,
,
所以该网民至少购买2种商品的概率为 .
答：该网民至少购买2种商品的概率为.
（2）随机变量的可能取值为,
,
又, , 所以.
所以随机变量的概率分布为：
0 1 2 3
17．解：（1）设T=C（axm）12－r·（bxn）r=Ca12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
Ca8b4≥Ca9b3， ①
Ca8b4≥Ca7b5. ②
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.
由②得≥，∴≤≤.
18．解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，
基本事件总数N=.
所以P（A）==. ----------4分
（2）设A中学分到两名教师为事件B，所以P（B）==. ------8分
（3）由题知X取值1，2，3.
P（X=1）=， P（X=2）=,P（X=3）=.
所以分布列为
X 1 2 3
P

19．解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，， ………2分
（1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为
则，所以取，又，
所以直线与平面所成角的正弦值为. …………6分
（2），，，，
设平面的法向量为，则，
所以取. …………8分
又平面的一个法向量为，由题意得，
所以，解得或（不合题意，舍去），
所以实数的值为. …………10分
20．（1）当m=1，n=2时，1≤≤1，又≤1
∴为0，1或0，-1或1，0或-1，0
（2）当m=n=2时，1≤≤2，a1、a2取值共有：32-1=8种
即，
又当m=n=2016时，1≤≤2016，a1、a2、a2016取值共有：32016-1种
即
即1≤≤m
数列需满足不能全为0，不能没有0（即每项均为1或-1）
∴
即考虑3m+1-2m+1-1>2016
令g(m)=3m+1-2m+1
则g(m+1)-g(m)=2×3m+1-2m+1>0
∴g(m)单调增
又g(6)=2059成立，∴m最小值为6
A
C
B
M
O
A1
C1
B1
B
A
C
D
B1
A1
C1
第19题图
∴有