16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
知识点1 二次根式的概念及有(无)意义的条件
1.下列各式中,一定是二次根式的是( A )
A. B. C. D.
2.(2024番禺期末)下列二次根式有意义的范围为x≥-4的是( D )
A. B. C. D.
3.当x取何值时,下列各式在实数范围内有意义
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
解:(1)x≤
(2)x取任意实数
(3)x>1
(4)x≥-4且x≠2
(5)x取任意实数
(6)x<
知识点2 二次根式的实际应用
4.已知一个正方形的面积为7 cm2,则它的边长为 cm.
5.要画一个面积为24 cm2的长方形,使它的长与宽之比为4∶3,则它的长、宽分别是多少
解:长方形的长为4 cm,宽为3 cm
6.在式子,,,(y>0),(x>0)和中,二次根式有( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.(易错题)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( C )
A.x>-1 B.x≥-1且x≠0 C.x>-1且x≠0 D.x≠0
8.若y=++4,则x2+y2的平方根是 ±2 .
9.使+-有意义的a的所有整数值为 -4,-3,-1,
0,1 .
10.求使下列式子有意义的x的取值范围:
(1); (2); (3).
解:(1)x的取值范围是x<
(2)x的取值范围是x≤3且x≠2
(3)x的取值范围是x=0
11.已知a,b分别是等腰三角形的两边长,且a,b满足b=4++
3,求此三角形的周长.
解:由题意,得解得
∴a=2,∴b=4.
∵2+2=4,∴以2,2,4为三边长不能组成三角形,
∴此三角形的周长为2+4+4=10.
12.先阅读,后回答问题.
当x为何值时,有意义
解:要使式子有意义,需x(x-1)≥0,则或解得x≥1或x≤0,即当x≥1或x≤0时,有意义.
体会上面的解题思想后,解答下面的问题:
当x为何值时,有意义
解:要使式子有意义,需≥0,
则或
解得x≥2或x<-,
∴当x≥2或x<-时,有意义.
第2课时 二次根式的性质
知识点1 =a(a≥0)的应用
1.二次根式(-2)2的值为( C )
A.6 B.-6 C.12 D.-12
2.如果()2=3a-2,那么a的取值范围是( C )
A.a> B.a< C.a≥ D.a≤
3.若m2=(-)2,则m= ± .
4.在实数范围内分解因式:4a2-3= (2a+)(2a-) .
5.计算:
(1)()2; (2)(3)2;
(3)()2; (4)(-10)2.
解:(1) (2)45
(3) (4)300
知识点2 =a(a≥0)的应用
6.下列计算正确的是( B )
A.=-3 B.=3 C.=±3 D.=±3
7.(易错题)实数a,b在数轴上对应点的位置如图,则2b+的结果是( B )
A.2a-b B.3b-a C.-b D.b
8.已知-19.计算:
(1); (2);
(3); (4).
解:(1)12 (2)6
(3) (4)
知识点3 代数式的概念
10.下列式子:①π;②a+b;③≤0;④;⑤;⑥m=n+1.其中是代数式的有( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.一个圆的面积等于半径分别为a和b的两个圆的面积之和,用代数式表示这个圆的半径为 .
12.如图,已知大圆的半径为R,小圆的半径为r,且R=2r,圆环面积
为S.
(1)用含S的代数式表示小圆的半径r;
(2)当S=12π和S=π时,分别求出r的大小.
解:(1)S=πR2-πr2=π(2r)2-πr2=3πr2,∴r=.
(2)当S=12π时,r===2.
当S=π时,r====.
13.下列计算正确的是( D )
A.=±3 B.= C.=-5 D.=
14.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是( A )
A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6
15.若a<0,b>0,则化简2的结果为( C )
A.a-2b B.2a-b C.2b-a D.b-2a
16.若+=2,则( C )
A.x≥3 B.x≤1 C.1≤x≤3 D.x=1或x=3
17.表示实数a,b的点在数轴上的位置如图.
则化简+-的结果是( B )
A.0 B.-2 C.-2a D.2b
18.若是正整数,则自然数n的值是 4或1 .
19.计算:
(1)-5; (2);
(3)(2)2-(3)2; (4)+.
解:(1)-1 (2)
(3)-6 (4)5
20.若x,y为实数,且y=+4,求的值.
解:由题意,得
解得x2=9,∴x=±3.
又∵x+3≠0,∴x=3,∴y=4,
∴x-y=3-4=-1,
∴==1.
21.【阅读材料】宾宾在学习二次根式时,发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方,如:5+2=(2+3)+2=()2+()2+
2×=(+)2;
8+2=(1+7)+2=12+()2+2×1×=(1+)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照宾宾的方法将7+2化成另一个式子的平方;
(2)请运用宾宾的方法化简:.
解:(1)(+)2
(2)
=
=
=
=-=3-.16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
知识点1 二次根式的概念及有(无)意义的条件
1.下列各式中,一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.(2024番禺期末)下列二次根式有意义的范围为x≥-4的是( )
A. B. C. D.
3.当x取何值时,下列各式在实数范围内有意义
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
知识点2 二次根式的实际应用
4.已知一个正方形的面积为7 cm2,则它的边长为 cm.
5.要画一个面积为24 cm2的长方形,使它的长与宽之比为4∶3,则它的长、宽分别是多少
6.在式子,,,(y>0),(x>0)和中,二次根式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.(易错题)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>-1 B.x≥-1且x≠0 C.x>-1且x≠0 D.x≠0
8.若y=++4,则x2+y2的平方根是 .
9.使+-有意义的a的所有整数值为 .
10.求使下列式子有意义的x的取值范围:
(1); (2); (3).
11.已知a,b分别是等腰三角形的两边长,且a,b满足b=4++
3,求此三角形的周长.
12.先阅读,后回答问题.
当x为何值时,有意义
第2课时 二次根式的性质
知识点1 =a(a≥0)的应用
1.二次根式(-2)2的值为( )
A.6 B.-6 C.12 D.-12
2.如果()2=3a-2,那么a的取值范围是( )
A.a> B.a< C.a≥ D.a≤
3.若m2=(-)2,则m= .
4.在实数范围内分解因式:4a2-3= .
5.计算:
(1)()2; (2)(3)2;
(3)()2; (4)(-10)2.
知识点2 =a(a≥0)的应用
6.下列计算正确的是( )
A.=-3 B.=3 C.=±3 D.=±3
7.(易错题)实数a,b在数轴上对应点的位置如图,则2b+的结果是( )
A.2a-b B.3b-a C.-b D.b
8.已知-19.计算:
(1); (2);
(3); (4).
知识点3 代数式的概念
10.下列式子:①π;②a+b;③≤0;④;⑤;⑥m=n+1.其中是代数式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
11.一个圆的面积等于半径分别为a和b的两个圆的面积之和,用代数式表示这个圆的半径为 .
12.如图,已知大圆的半径为R,小圆的半径为r,且R=2r,圆环面积
为S.
(1)用含S的代数式表示小圆的半径r;
(2)当S=12π和S=π时,分别求出r的大小.
13.下列计算正确的是( )
A.=±3 B.= C.=-5 D.=
14.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是( )
A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6
15.若a<0,b>0,则化简2的结果为( )
A.a-2b B.2a-b C.2b-a D.b-2a
16.若+=2,则( )
A.x≥3 B.x≤1 C.1≤x≤3 D.x=1或x=3
17.表示实数a,b的点在数轴上的位置如图.
则化简+-的结果是( )
A.0 B.-2 C.-2a D.2b
18.若是正整数,则自然数n的值是 .
19.计算:
(1)-5; (2);
(3)(2)2-(3)2; (4)+.
20.若x,y为实数,且y=+4,求的值.
21.【阅读材料】宾宾在学习二次根式时,发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方,如:5+2=(2+3)+2=()2+()2+
2×=(+)2;
8+2=(1+7)+2=12+()2+2×1×=(1+)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照宾宾的方法将7+2化成另一个式子的平方;
(2)请运用宾宾的方法化简:.
