16.2　二次根式的乘除 课时分层训练（学生版+答案版）2024-2025学年数学人教版八年级下册

16.2　二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
知识点1　二次根式的乘法
1.下列运算中正确的是( )
A.×=4 B.×=21 C.×= D.9×=3
2.若m=(-)×,则( )
A.43.计算·的结果是 .
4.如果2□=6,那么“□”里的运算符号为 .
5.计算:
(1)×; (2)3×(-2);
(3)(-)×(-); (4)2·.
知识点2　 积的算术平方根
6.计算的结果是( )
A.2 B.3 C.2 D.4
7.若=·,则( )
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
8.下列变形正确的是( )
A.=× B.=×=4×
C.= D.=25-24=1
9.若式子=·(a≥0,b≥0)成立,则有=×=2.请按照此性质化简,使被开方数不含完全平方的因数:= .
10.若×=×a=a,则a-b= .
11.计算:
(1); (2);
(3); (4)-.
12.化简二次根式的结果为( )
A.-2a B.2a C.2a D.-2a
13.若设=a,=b,则×可以表示为( )
A. B.10ab C. D.
14.化简:= .
15.(易错题)当a<0时,化简a·的结果是 .
16.把(1-a)根号外的因式移入根号内,化简后的结果是
.
17.计算:
(1)××;　　　　　　　 　
(2)×(-)×;
(3)3a·(-)(a≥0,b≥0);　　　(4)x2·()(x>0,y≥0).
18.规定a,b两数通过运算“※”得到4ab,即a※b=4ab.
例如:2※6=4×2×6=48;3※5=4×3×5=60.
(1)求※的值;
(2)若※=12,求a的值.
19.观察下列各式及其验证过程:
①=2;②=3.
验证:①===2;②===3.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
第2课时　二次根式的除法
知识点1　二次根式的除法
1.能使式子=成立的x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2
2.下列各式计算正确的是( )
A.÷=9 B.÷=
C.÷=4 D.÷=3
3.已知x=,y=,则= .
4.若长方形的面积S=6 cm2,长为3 cm,则宽为 cm.
5.计算:
(1)÷; (2)÷;
(3)÷; (4)(a>0).
知识点2　 商的算术平方根
6.下列计算正确的是( )
A.= B.= C.3= D.=5
7.计算:= ;= .
8.化简:(1);　　　　(2);　　　　(3).
知识点3　 最简二次根式
9.(2024白云期末)下列各式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
10.在根式,,,,中,最简二次根式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.写出一个最简二次根式a,使得212.把下列各式化成最简二次根式:
(1); 　　(2); 　　　　(3).
13.若和都是最简二次根式,求mn的值.
14.在根式,,,,中,最简二次根式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.已知a=2,b=-1,则代数式÷的值为( )
A.2 B.2 C.2 D.3
16.若=a,=b,则用含a,b的代数式表示为 .
17.(易错题)-a化成最简二次根式为 .
18.婴儿游泳池是供婴儿进行室内或室外游泳的场所,婴儿游泳池的样式多种多样,现已知一长方体婴儿游泳池的体积为 m3,高为 m,则该长方体婴儿游泳池的底面积为 m2.
19.计算:
(1)×÷2; (2)·(-)÷(a>0).
20.在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,这样的式子,其实我们可以将其进一步化简:
==;
====-1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以这样化简:====-1.
请选择适当的方法化简:
(1);　　　　(2);　　　　(3).
第3课时　二次根式的分母有理化
知识点　分母有理化
1.分母有理化:= ;= (a>0).
2.下列运算正确的是( )
A.=4 B.= C.= D.=x
3.计算:÷(a>0,b>0)等于( )
A. B. C.2a D.2a2
4.化简·的结果是( )
A.4y B.16y C.4x D.16x
5.(1)=-1;(2)=-;(3)=-2;….
猜想第n个式子:= (n为正整数).
6.先化简,再求值:+,其中x=.
7.阅读下面的材料并解答后面所给出的问题:
①==,②==-1.
两个含二次根式的代数式相乘,若它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如:与,+1与-1,数学上将上述把分母变成有理数(式)的过程称为分母有理化,因此,化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘分母的有理化因式的方法就行了.
(1)的有理化因式是 ,+的有理化因式是 ;
(2)求的值;
(3)求++的值.16.2　二次根式的乘除
第1课时　二次根式的乘法
知识点1　二次根式的乘法
1.下列运算中正确的是(　D　)
A.×=4 B.×=21 C.×= D.9×=3
2.若m=(-)×,则(　B　)
A.43.计算·的结果是　x　.
4.如果2□=6,那么“□”里的运算符号为　×　.
5.计算:
(1)×; (2)3×(-2);
(3)(-)×(-); (4)2·.
解:(1) (2)-36
(3)0.4 (4)2
知识点2　 积的算术平方根
6.计算的结果是(　C　)
A.2 B.3 C.2 D.4
7.若=·,则(　A　)
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
8.下列变形正确的是(　C　)
A.=× B.=×=4×
C.= D.=25-24=1
9.若式子=·(a≥0,b≥0)成立,则有=×=2.请按照此性质化简,使被开方数不含完全平方的因数:=　3 .
10.若×=×a=a,则a-b=　-4　.
11.计算:
(1); (2);
(3); (4)-.
解:(1)4
(2)4
(3)40
(4)-12
12.化简二次根式的结果为(　A　)
A.-2a B.2a C.2a D.-2a
13.若设=a,=b,则×可以表示为(　C　)
A. B.10ab C. D.
14.化简:=　15　.
15.(易错题)当a<0时,化简a·的结果是　-4a2　.
16.把(1-a)根号外的因式移入根号内,化简后的结果是
　-　.
17.计算:
(1)××;　　　　　　　 　
(2)×(-)×;
(3)3a·(-)(a≥0,b≥0);　　　(4)x2·()(x>0,y≥0).
解:(1)3　(2)-4　(3)-12ab　(4)2xy2
18.规定a,b两数通过运算“※”得到4ab,即a※b=4ab.
例如:2※6=4×2×6=48;3※5=4×3×5=60.
(1)求※的值;
(2)若※=12,求a的值.
解:(1)8
(2)±
19.观察下列各式及其验证过程:
①=2;②=3.
验证:①===2;②===3.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
解:(1)猜想:=5.
验证:===5.
(2)=a(a为任意自然数,且a≥2).
验证:===a.
第2课时　二次根式的除法
知识点1　二次根式的除法
1.能使式子=成立的x的取值范围是(　D　)
A.x>0 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2
2.下列各式计算正确的是(　B　)
A.÷=9 B.÷=
C.÷=4 D.÷=3
3.已知x=,y=,则=　　.
4.若长方形的面积S=6 cm2,长为3 cm,则宽为　2　cm.
5.计算:
(1)÷; (2)÷;
(3)÷; (4)(a>0).
解:(1)
(2)2
(3)
(4)3
知识点2　 商的算术平方根
6.下列计算正确的是(　B　)
A.= B.= C.3= D.=5
7.计算:=　　;=　　.
8.化简:(1);　　　　(2);　　　　(3).
解:(1)　(2)　(3)
知识点3　 最简二次根式
9.(2024白云期末)下列各式中,是最简二次根式的是(　C　)
A. B. C. D.
10.在根式,,,,中,最简二次根式有(　C　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.写出一个最简二次根式a,使得212.把下列各式化成最简二次根式:
(1); 　　(2); 　　　　(3).
解:(1)
(2)
(3)2
13.若和都是最简二次根式,求mn的值.
解:∵和都是最简二次根式,
∴∴∴mn=12=1.
14.在根式,,,,中,最简二次根式有(　C　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.已知a=2,b=-1,则代数式÷的值为(　C　)
A.2 B.2 C.2 D.3
16.若=a,=b,则用含a,b的代数式表示为　　.
17.(易错题)-a化成最简二次根式为　　.
18.婴儿游泳池是供婴儿进行室内或室外游泳的场所,婴儿游泳池的样式多种多样,现已知一长方体婴儿游泳池的体积为 m3,高为 m,则该长方体婴儿游泳池的底面积为　20　m2.
19.计算:
(1)×÷2; (2)·(-)÷(a>0).
解:(1)3
(2)-4a2b
20.在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,这样的式子,其实我们可以将其进一步化简:
==;
====-1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以这样化简:====-1.
请选择适当的方法化简:
(1);　　　　(2);　　　　(3).
解:(1)==.
(2)==.
(3)==-.
第3课时　二次根式的分母有理化
知识点　分母有理化
1.分母有理化:=　　;=　　(a>0).
2.下列运算正确的是(　B　)
A.=4 B.= C.= D.=x
3.计算:÷(a>0,b>0)等于(　C　)
A. B. C.2a D.2a2
4.化简·的结果是(　A　)
A.4y B.16y C.4x D.16x
5.(1)=-1;(2)=-;(3)=-2;….
猜想第n个式子:=　-　(n为正整数).
6.先化简,再求值:+,其中x=.
解:∵x===3-2,
∴+=x-1+=x-1-1=x-2.
当x=3-2时,原式=3-2-2=1-2.
7.阅读下面的材料并解答后面所给出的问题:
①==,②==-1.
两个含二次根式的代数式相乘,若它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如:与,+1与-1,数学上将上述把分母变成有理数(式)的过程称为分母有理化,因此,化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘分母的有理化因式的方法就行了.
(1)的有理化因式是　　　　,+的有理化因式是　　　　;
(2)求的值;
(3)求++的值.
解:(1)　-　(2)3+6　(3)-