17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题与互逆定理
1.下列命题的逆命题不正确的是( D )
A.两条直线平行,内错角相等
B.相等的两个角一定是对顶角
C.若a2=b2,则a=b
D.等边三角形是锐角三角形
2.判断下列命题是否成立,写出它们的逆命题,并判断其是否成立,指出其中的互逆定理.
(1)对顶角相等;
(2)三边对应相等的两个三角形全等;
(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
(4)两直线平行,同位角相等.
解:(1)对顶角相等,此命题成立;
它的逆命题为相等的角为对顶角,此命题不成立.
(2)三边对应相等的两个三角形全等,此命题成立;
它的逆命题为全等三角形的对应边相等,此命题成立.
(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,此命题不成立;
它的逆命题为全等的两个直角三角形对应的两个锐角分别相等,此命题成立.
(4)两直线平行,同位角相等,此命题成立;
它的逆命题为同位角相等,两直线平行,此命题成立.
其中,(2)(4)的原命题及其逆命题为互逆定理.
知识点2 勾股定理的逆定理
3. (2024白云期末)在△ABC中, 若BC=3,AC=4,AB=5, 则( C )
A. ∠A=90° B. ∠B=90°
C.∠C=90° D. △ABC是锐角三角形
4.在△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,则△ABC的面积是( A )
A.24 cm2 B.30 cm2 C.40 cm2 D.48 cm2
5.试判断以下以a,b,c为三边长的三角形是不是直角三角形.如果是,指出哪一条边所对的角是直角.
(1)a=25,b=20,c=15;
(2)a=1,b=2,c=;
(3)a=40,b=9,c=40.
解:(1)以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形,以a为边长的边所对的角是直角.
(2)以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形,以b为边长的边所对的角是直角.
(3)以a,b,c为三边长的三角形不是直角三角形.
知识点3 勾股数及勾股定理逆定理的应用
6.下列四组数中,是勾股数的是( A )
A.5,12,13 B.4,5,6
C.2,3,4 D.1,,
7.一块田地的形状和尺寸如图,则它的面积为 24 .
8.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=3,CD=,DA=5,∠B=90°,则∠BCD的度数是 135° .
9.为响应政府的“公园城市建设”号召,某小区进行小范围绿化,要在一块如图的四边形空地上种植草皮,测得∠B=90°,AB=24 m,BC=
7 m,CD=15 m,AD=20 m.如果种植草皮的费用是200元/平方米,那么共需投入多少元钱
解:连接AC(图略).
∵∠B=90°,AB=24 m,BC=7 m,
∴AC2=AB2+BC2=242+72=625,∴AC=25 m.
又∵CD=15 m,AD=20 m,∴152+202=252,
即CD2+AD2=AC2,∴△ACD是直角三角形,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=AB·BC+AD·DC
=×24×7+×20×15
=234(m2),∴所需费用为234×200=46 800(元),
故共需投入46 800元钱.
10.如图是3×2的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.线段AB,CD的端点均在格点上,且线段AB,CD交于点O,则∠BOD的度数为( B )
A.30° B.45° C.50° D.60°
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 直角 三角形.
12.如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
13.写出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题,并证明其逆命题是真命题.
解:原命题的逆命题是若一个三角形两边上的高相等,则这个三角形是等腰三角形.
已知:在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,且BD=CE,如图.
求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在Rt△BCD和Rt△CBE中,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),∴∠BCD=∠CBE,
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
14.已知一个直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,将满足a2+b2=c2的一组正整数称为勾股数,记为(a,b,c),其中a≤b(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85),….如果a=2n+1(n为正整数),那么b+c= 4n2+4n+1 .(用含n的代数式表示)
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
知识点 勾股定理的逆定理的应用
1.如图,OA=6,OB=8,AB=10,点A在点O的北偏西40°方向,则点B在点O的( B )
A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向
C.东偏北60°方向 D.东偏北70°方向
2.一个三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为( A )
A.12 cm B.10 cm C.12.5 cm D.10.5 cm
3.如图,若AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AB⊥BC,则阴影部分的面积为( A )
A.24 B.36 C.48 D.12
4.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与记录的其他数据混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的这组数据( B )
A.13,10,10 B.13,10,12 C.13,12,12 D.13,10,11
5.在海洋上有一个形状近似于四边形的岛屿,小明构造出了该岛的一个数学模型(如图中的四边形ABCD),AC是四边形岛屿上的一条小溪流,其中∠B=90°,AB=BC=5 km,CD= km,AD=4 km.
(1)求小溪流AC的长;
(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号).
解:(1)∵∠B=90°,AB=BC=5 km.
∴AC=
==5(km).
(2)∵AC2==50,CD2+AD2=+=50,
∴AC2=CD2+AD2,
∴∠D=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=×5×5+××4
=(km2).
6.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图,有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为150 m和200 m,又AB=250 m,拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗 为什么
(2)若拖拉机的行驶速度为50 m/min,拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟
解:(1)学校C会受噪声影响.
理由如下:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴AC×BC=CD×AB,
∴150×200=250×CD,
∴CD==120(m).
∵拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域,
∴学校C会受噪声影响.
(2)当EC=130 m,FC=130 m(如图)时,正好影响学校C.
∵ED===50(m),
∴EF=100 m.
∵拖拉机的行驶速度为50 m/min,
∴100÷50=2(min),
∴拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2 min.
7.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D都在格点上.
(1)线段AB的长度是 ,线段CD的长度是 .
(2)若EF的长度为,那么以AB,CD,EF三条线段为边能否构成直角三角形 请说明理由.
解:(1) 2
(2)以AB,CD,EF三条线段为边能构成直角三角形,
理由如下:
∵AB=,CD=2,EF=,
∴CD2+EF2=+=8+5=13=AB2,
∴以AB,CD,EF三条线段为边能构成直角三角形.
8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-EA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AC=12,BD=10,求△AEC的周长.
(1)证明:∵D是BC的中点,DE⊥BC,
∴DE是线段BC的垂直平分线,∴CE=BE.
∵BE2-EA2=AC2,
∴CE2-EA2=AC2,即CE2=AC2+EA2,
∴△ACE是直角三角形,且∠A=90°.
(2)解:由题意知BC=2BD=20.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==16,
∴BE+AE=16.
∵CE+AE+AC=BE+AE+AC=16+12=28,
∴△AEC的周长为28.17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题与互逆定理
1.下列命题的逆命题不正确的是( )
A.两条直线平行,内错角相等
B.相等的两个角一定是对顶角
C.若a2=b2,则a=b
D.等边三角形是锐角三角形
2.判断下列命题是否成立,写出它们的逆命题,并判断其是否成立,指出其中的互逆定理.
(1)对顶角相等;
(2)三边对应相等的两个三角形全等;
(3)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
(4)两直线平行,同位角相等.
知识点2 勾股定理的逆定理
3. (2024白云期末)在△ABC中, 若BC=3,AC=4,AB=5, 则( )
A. ∠A=90° B. ∠B=90°
C.∠C=90° D. △ABC是锐角三角形
4.在△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,则△ABC的面积是( )
A.24 cm2 B.30 cm2 C.40 cm2 D.48 cm2
5.试判断以下以a,b,c为三边长的三角形是不是直角三角形.如果是,指出哪一条边所对的角是直角.
(1)a=25,b=20,c=15;
(2)a=1,b=2,c=;
(3)a=40,b=9,c=40.
知识点3 勾股数及勾股定理逆定理的应用
6.下列四组数中,是勾股数的是( )
A.5,12,13 B.4,5,6
C.2,3,4 D.1,,
7.一块田地的形状和尺寸如图,则它的面积为 .
8.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=3,CD=,DA=5,∠B=90°,则∠BCD的度数是 .
9.为响应政府的“公园城市建设”号召,某小区进行小范围绿化,要在一块如图的四边形空地上种植草皮,测得∠B=90°,AB=24 m,BC=
7 m,CD=15 m,AD=20 m.如果种植草皮的费用是200元/平方米,那么共需投入多少元钱
10.如图是3×2的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.线段AB,CD的端点均在格点上,且线段AB,CD交于点O,则∠BOD的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形.
12.如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为 .
13.写出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题,并证明其逆命题是真命题.
14.已知一个直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,将满足a2+b2=c2的一组正整数称为勾股数,记为(a,b,c),其中a≤b(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85),….如果a=2n+1(n为正整数),那么b+c= .(用含n的代数式表示)
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
知识点 勾股定理的逆定理的应用
1.如图,OA=6,OB=8,AB=10,点A在点O的北偏西40°方向,则点B在点O的( )
A.北偏东40°方向 B.北偏东50°方向
C.东偏北60°方向 D.东偏北70°方向
2.一个三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为( )
A.12 cm B.10 cm C.12.5 cm D.10.5 cm
3.如图,若AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,AB⊥BC,则阴影部分的面积为( )
A.24 B.36 C.48 D.12
4.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与记录的其他数据混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的这组数据( )
A.13,10,10 B.13,10,12 C.13,12,12 D.13,10,11
5.在海洋上有一个形状近似于四边形的岛屿,小明构造出了该岛的一个数学模型(如图中的四边形ABCD),AC是四边形岛屿上的一条小溪流,其中∠B=90°,AB=BC=5 km,CD= km,AD=4 km.
(1)求小溪流AC的长;
(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号).
6.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图,有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为150 m和200 m,又AB=250 m,拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗 为什么
(2)若拖拉机的行驶速度为50 m/min,拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟
7.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D都在格点上.
(1)线段AB的长度是 ,线段CD的长度是 .
(2)若EF的长度为,那么以AB,CD,EF三条线段为边能否构成直角三角形 请说明理由.
8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-EA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°;
(2)若AC=12,BD=10,求△AEC的周长.
