18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的特征
知识点1 平行四边形边、角的性质
1.如图,已知平行四边形ABCD的周长等于22 cm,AC=8 cm,则△ABC的周长是( )
A.11 cm B.15 cm C.16 cm D.19 cm
2.如图,E是平行四边形ABCD的边BC上一点,且AB=BE,连接AE,并延长AE与DC的延长线交于点F.如果∠F=70°,那么∠B的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
3.如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于点G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
4.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别是E,F,
∠EAF=60°,BE=2,DF=3,则平行四边形ABCD的周长为 .
5.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
6.如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=BF,直线EF与BA,DC的延长线分别交于点G,H.求证:AG=CH.
知识点2 两条平行线之间的距离
7.如图,直线a∥b∥c,AB⊥a,AB⊥b,a与b的距离是5 cm,b与c的距离是2 cm,则a与c的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.7 cm
8.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为 .
9.如图,已知点A,B的坐标分别为(1,1),(-2,-1),四边形ACDB是平行四边形,点C的坐标为(4,1),则点D的坐标为( )
A.(1,-1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,3)
10.如图,在 ABCD中,∠ADC的平分线DE交BC于点E,若AB=11,BE=4,则 ABCD的周长为( )
A.46 B.48 C.50 D.52
11.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,过点A作AF⊥BE,垂足为F,若AF=DE=5,BE=24,则BC的长为( )
A.8 B.13 C.16 D.18
12.在 ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD=11,EF=5,则AB的长为 .
13.如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AE=1,EF=2,BE=3,求BC的长.
14.如图,A为y轴上一点,点B的坐标为(1,0),连接AB,分别以OB, AB为边构造等边三角形OBD和等边三角形ABC,且点D恰好落在AB上,点P为平面内一点,当四边形PBCD为平行四边形时,求点P的
坐标.
第2课时 平行四边形的对角线的特征
知识点1 平行四边形对角线的性质
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.OB=OD B.AB=BC C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=3,AC=8,则BD的长是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
3.如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,若AC+BD=32,则△BOC的周长为 .
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别为OD,OB的中点,连接CE,AF.求证:CE=AF.
知识点2 平行四边形性质的综合运用
5.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC,BD的交点,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E.若平行四边形ABCD的周长为44 cm,则△CDE的周长为( )
A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
6.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= .
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及平行四边形ABCD的面积.
8.如图,EF过 ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,有下列结论:
①OE=OF;
②图中共有4对全等三角形;
③若AB=4,AC=6,则2④S四边形ABFE=S△ABC.
其中正确的结论有( )
A.①④ B.①②④ C.①③④ D.①②③
9.(易错题)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AB=,∠AOB=60°,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+2EF的值为( )
A.+1 B. C. D.
10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E.若该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为 .
11.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于点E,交BA的延长线于点F,则AE+AF= .
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若∠BAC=90°,AB=,AC=2,求BD的长.
13.如图①, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F,则OE=OF.若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图②和图③),OE与OF还相等吗 若相等,请说明理由.18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的特征
知识点1 平行四边形边、角的性质
1.如图,已知平行四边形ABCD的周长等于22 cm,AC=8 cm,则△ABC的周长是( D )
A.11 cm B.15 cm C.16 cm D.19 cm
2.如图,E是平行四边形ABCD的边BC上一点,且AB=BE,连接AE,并延长AE与DC的延长线交于点F.如果∠F=70°,那么∠B的度数是( B )
A.30° B.40° C.50° D.70°
3.如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于点G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 BE=DF(答案不唯一) .(只需写一种情况)
4.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别是E,F,
∠EAF=60°,BE=2,DF=3,则平行四边形ABCD的周长为 20 .
5.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°.
∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC=70°,∴∠AFD=∠CDF=70°.
∵DF∥BE,∴∠ABE=∠AFD=70°.
6.如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=BF,直线EF与BA,DC的延长线分别交于点G,H.求证:AG=CH.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,∠D=∠B,CD=AB,∴∠H=∠G.
在△DEH和△BFG中,∴△DEH≌△BFG(AAS),
∴DH=BG,∴AG=CH.
知识点2 两条平行线之间的距离
7.如图,直线a∥b∥c,AB⊥a,AB⊥b,a与b的距离是5 cm,b与c的距离是2 cm,则a与c的距离是( B )
A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.7 cm
8.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为 20 .
9.如图,已知点A,B的坐标分别为(1,1),(-2,-1),四边形ACDB是平行四边形,点C的坐标为(4,1),则点D的坐标为( A )
A.(1,-1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,3)
10.如图,在 ABCD中,∠ADC的平分线DE交BC于点E,若AB=11,BE=4,则 ABCD的周长为( D )
A.46 B.48 C.50 D.52
11.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,过点A作AF⊥BE,垂足为F,若AF=DE=5,BE=24,则BC的长为( D )
A.8 B.13 C.16 D.18
12.在 ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD=11,EF=5,则AB的长为 8或3 .
13.如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AE=1,EF=2,BE=3,求BC的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAC=∠ACD,AB=CD.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEA=∠DFC=90°,
∴△BAE≌△DCF(AAS),∴AE=CF.
(2)解:∵AE=1,EF=2,BE=3,
∴EC=EF+CF=EF+AE=2+1=3.
∴在Rt△BCE中,
BC===3.
14.如图,A为y轴上一点,点B的坐标为(1,0),连接AB,分别以OB, AB为边构造等边三角形OBD和等边三角形ABC,且点D恰好落在AB上,点P为平面内一点,当四边形PBCD为平行四边形时,求点P的
坐标.
解:如图.
∵以OB,AB为边构造等边三角形OBD和等边三角形ABC,
∴∠DOB=∠ODB=∠OBD=60°,∠CAB=60°,
∴AC∥OB,∴∠OAC=90°,∴AD=OD.
又点B的坐标为(1,0),
∴OD=AD=BD=1,∴点D为AB的中点,AB=2,
∴AO=,∴D(,),∴C(2,).
∵四边形PBCD是平行四边形,∴DP∥BC,DP=BC,
∴由平移可知点P的坐标为(-,-).
第2课时 平行四边形的对角线的特征
知识点1 平行四边形对角线的性质
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( A )
A.OB=OD B.AB=BC C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=3,AC=8,则BD的长是( C )
A.8 B.9 C.10 D.12
3.如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,若AC+BD=32,则△BOC的周长为 26 .
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别为OD,OB的中点,连接CE,AF.求证:CE=AF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵E,F分别为OD,OB的中点,
∴EO=FO.
在△AFO和△CEO中,
∴△AFO≌△CEO(SAS),∴CE=AF.
知识点2 平行四边形性质的综合运用
5.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC,BD的交点,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E.若平行四边形ABCD的周长为44 cm,则△CDE的周长为( B )
A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
6.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= 4 .
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及平行四边形ABCD的面积.
解:在平行四边形ABCD中,BC=AD=8,AD∥BC,BD⊥AD,AB=10,
∴BD===6.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=BD=3,S ABCD=AD·BD=8×6=48.
8.如图,EF过 ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,有下列结论:
①OE=OF;
②图中共有4对全等三角形;
③若AB=4,AC=6,则2④S四边形ABFE=S△ABC.
其中正确的结论有( C )
A.①④ B.①②④ C.①③④ D.①②③
9.(易错题)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AB=,∠AOB=60°,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+2EF的值为( B )
A.+1 B. C. D.
10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E.若该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为 1 .
11.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于点E,交BA的延长线于点F,则AE+AF= 4 .
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若∠BAC=90°,AB=,AC=2,求BD的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=
∠CDF.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO=AC=×2=,BO=DO=BD.
∵∠BAC=90°,∴△BAO是直角三角形,∴在Rt△BAO中,由勾股定
理,得
BO===2,
∴BD=2BO=2×2=4.
13.如图①, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F,则OE=OF.若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图②和图③),OE与OF还相等吗 若相等,请说明理由.
解:题图②中OE=OF.理由如下:
在 ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F.
在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
题图③中OE=OF.理由如下:
在 ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F.
在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF.
