18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠D=120°,则∠C的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,给出以下结论:①∠A=∠C;②AB∥CD;③AD∥BC.其中正确的结论是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
3.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以点A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
4.如图,将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6 cm,得到三角形
A′B′C′.已知∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,则四边形
ABB′A′的面积为 cm2.
5.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:四边形BFDE是平行四
边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能为( )
A.2∶3∶6∶7 B.3∶4∶5∶6
C.3∶3∶5∶5 D.4∶5∶4∶5
7.已知在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,对角线AC,BD相交于点O.有下列条件:①AB∥CD;②AB=CD;③OA=OC;④∠ABC=∠ADC.添加其中一个条件能使四边形ABCD成为平行四边形,则正确的有 .(填序号)
8.如图,在四边形ABCD中,∠A和∠B互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD是平行四边形吗 试说明理由.
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
9.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形.这种方法的依据是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
10.如果点O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=
24 cm,那么当OA= cm时,四边形ABCD是平行四边形.
11.如图,AD是△ABC的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使ED=AD,连接BE,CE.
(2)四边形ABEC是平行四边形吗 证明你的结论.
12.在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.OA=OC,OB=OD B.AD∥BC,AB∥CD
C.AB=CD,AD=BC D.AD=BC,AB∥CD
13.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,
BC=12,BE=ED=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为( )
A.100 B.130 C.60 D.120
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12 cm,
AC=6 cm,点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动,点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度运动.若点E,F同时运动,运动时间为
t s,则当t= 时,四边形AECF是平行四边形.
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F,连接BF,试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
16.如图,∠MON=∠PMO,OP=x-3,OM=4,ON=3,MN=5,MP=11-x.求证:四边形OPMN是平行四边形.
17.如图,以△ABC的三边为边分别作等边三角形DAC,等边三角形ABE,等边三角形BCF.求证:四边形ADFE是平行四边形.
18.如图,在 ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分.
第2课时 平行四边形的判定(2)
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(2024番禺期末)下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=DC,AD=BC
B. AB∥DC,AD∥BC
C.AB∥DC,AD=BC
D. AB∥DC,AB=DC
2.如图,在四边形ABCD中,AD=BC且AD∥BC,AB=9,AD=6,AE平分
∠DAB交BC的延长线于点F,则CF的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,在四边形ABCD中,连接AC,∠ACB=∠CAD.请你添加一个条件: ,使AB=CD.(填一种情况即可)
4.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,AB=CD,点E是CD的中点.求证:四边形ABCE是平行四边形.
知识点2 平行四边形判定的灵活运用
5.在平面直角坐标系中,已知点A(0,0),B(2,2),C(3,0).若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能为( )
A.(-1,2) B.(5,2) C.(2,-2) D.(1,-2)
6.在四边形ABCD中,若∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC,且∠D=52°,则
∠B的度数为 .
7.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后,连接对应点得到的图形是 形,它的周长是 cm.
8.如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,且∠1=∠2.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=4,DE=6,求 ABCD的周长.
9.如图,E是 ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A.∠ABD=∠DCE
B.DF=CF
C.∠AEB=∠BCD
D.∠AEC=∠CBD
10.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,线段EF与对角线AC交于点O且互相平分.若AD=BC=10,AB=6,则四边形ABCD的周长是( )
A.26
B.32
C.34
D.36
11.(易错题)在平面直角坐标系中,已知A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1)三点,在x轴上方找到点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标是 .
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
13.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)E是BC上一点,连接DE,F在DE上,连接AF,CF,若AF=CF,∠DAF=∠DFC,求证:CE=FD.
第3课时 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线的性质
1.如图,点D,E分别是△ABC中边BA,BC的中点,若AC=3,则DE的长为( )
A.2 B. C.3 D.
2.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为( )
A.4 B.3 C.6 D.5
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,E是边AC的中点,延长BC到点D,使BC=2CD,那么DE的长是 .
4.如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,点F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为 .
5.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,点F是CB延长线上一点,且CF=3BF,连接DE,DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12,DE=4.求证:DE=BF.
知识点2 三角形中位线的应用
6.如图,为测量池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点O,从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B,连接OA,OB,分别取OA,OB的中点C,D,连接CD后,量出CD的长为12 m,那么就可以算出池塘两端A,B的距离是( )
A.36 m B.24 m C.12 m D.6 m
7.如果四边形的两条对角线长分别为35 cm和25 cm,那么连接这个四边形各边中点所得的四边形的周长是 cm.
8.如图①是公园跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,点C为横板AB的中点.小明和小聪去玩跷跷板,小明最高能将小聪翘到1 m高(如图②).
(1)求立柱OC的高度;
(2)若小明想要把小聪最高翘到1.25 m高,则立柱OC应该高多少米
①
②
9.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是∠BAC的平分线,AE是边BC上的中线,过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为( )
A.0.5 B.1 C.3.5 D.7
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是边BC上一点,点M为边AB上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是( )
A.2 B. C.3 D.
11. (2024南沙期末)如图,在 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,E是边 AD的中点,连接OE. 若 AB的长为6,△DOE的周长为10,则 △BCD的周长是( )
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
12.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D,BD=.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为 .
13.在△ABC中,D是BC上的一点,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的
中点.
求证:EG,HF互相平分.
14.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图①,BE的延长线与AC相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图②,写出线段AB,AC,EF之间的数量关系: .18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠D=120°,则∠C的度数为( A )
A.60° B.70° C.80° D.90°
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,给出以下结论:①∠A=∠C;②AB∥CD;③AD∥BC.其中正确的结论是( D )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
3.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以点A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
4.如图,将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6 cm,得到三角形
A′B′C′.已知∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,则四边形
ABB′A′的面积为 24 cm2.
5.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:四边形BFDE是平行四
边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,AB=CD.
∵AE=CF,∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
∵在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS),∴DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能为( D )
A.2∶3∶6∶7 B.3∶4∶5∶6
C.3∶3∶5∶5 D.4∶5∶4∶5
7.已知在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,对角线AC,BD相交于点O.有下列条件:①AB∥CD;②AB=CD;③OA=OC;④∠ABC=∠ADC.添加其中一个条件能使四边形ABCD成为平行四边形,则正确的有 ①④ .(填序号)
8.如图,在四边形ABCD中,∠A和∠B互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD是平行四边形吗 试说明理由.
解:四边形ABCD是平行四边形.
理由如下:∵∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,∴∠D+∠C=180°.
∵∠A=∠C,∴∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
9.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形.这种方法的依据是( A )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
10.如果点O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=
24 cm,那么当OA= 12 cm时,四边形ABCD是平行四边形.
11.如图,AD是△ABC的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使ED=AD,连接BE,CE.
(2)四边形ABEC是平行四边形吗 证明你的结论.
解:(1)如图.
(2)四边形ABEC是平行四边形.
证明如下:∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
又∵ED=AD,
∴四边形ABEC是平行四边形.
12.在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )
A.OA=OC,OB=OD B.AD∥BC,AB∥CD
C.AB=CD,AD=BC D.AD=BC,AB∥CD
13.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,
BC=12,BE=ED=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为( D )
A.100 B.130 C.60 D.120
14.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12 cm,
AC=6 cm,点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动,点F在线段OD上从点O以2 cm/s的速度运动.若点E,F同时运动,运动时间为
t s,则当t= 2 时,四边形AECF是平行四边形.
15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F,连接BF,试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
解:四边形ABFC是平行四边形.
证明如下:
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AE=EF.
又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.
16.如图,∠MON=∠PMO,OP=x-3,OM=4,ON=3,MN=5,MP=11-x.求证:四边形OPMN是平行四边形.
证明:在△MON中,OM=4,ON=3,MN=5,
∴OM2+ON2=42+32=25,MN2=52=25,
∴OM2+ON2=MN2,∴△MON是直角三角形,
∴∠MON=∠PMO=90°.
在Rt△POM中,OP=x-3,OM=4,MP=11-x,
由勾股定理,得OM2+MP2=OP2,
即42+(11-x)2=(x-3)2,解得x=8,
∴OP=x-3=8-3=5,MP=11-x=11-8=3,
∴OP=MN,MP=ON,
∴四边形OPMN是平行四边形.
17.如图,以△ABC的三边为边分别作等边三角形DAC,等边三角形ABE,等边三角形BCF.求证:四边形ADFE是平行四边形.
证明:∵△ABE,△BCF为等边三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF,即∠CBA=∠FBE.
在△EBF和△ABC中,
∴△EBF≌△ABC(SAS),∴EF=AC.
∵△ADC为等边三角形,∴CD=AD=AC,
∴EF=AD=DC.
同理可得△ABC≌△DFC,
∴AB=AE=DF,∴四边形ADFE是平行四边形.
18.如图,在 ABCD中,E,F,G,H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求证:EF与GH互相平分.
证明:如图,连接HE,EG,GF,FH.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=CB,∠A=∠C,∠B=∠D.
又∵AE=CF,BG=DH,
∴AH=CG,DF=BE.
在△AEH和△CFG中,
∴△AEH≌△CFG,∴HE=GF.
同理△DHF≌△BGE,∴HF=GE,
∴四边形EGFH为平行四边形,∴EF与GH互相平分.
第2课时 平行四边形的判定(2)
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(2024番禺期末)下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A.AB=DC,AD=BC
B. AB∥DC,AD∥BC
C.AB∥DC,AD=BC
D. AB∥DC,AB=DC
2.如图,在四边形ABCD中,AD=BC且AD∥BC,AB=9,AD=6,AE平分
∠DAB交BC的延长线于点F,则CF的长是( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,在四边形ABCD中,连接AC,∠ACB=∠CAD.请你添加一个条件: AD=BC(答案不唯一) ,使AB=CD.(填一种情况即可)
4.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,AB=CD,点E是CD的中点.求证:四边形ABCE是平行四边形.
证明:∵∠BAC=∠ACD=90°,∴AB∥EC.
∵点E是CD的中点,∴EC=CD.
又∵AB=CD,∴AB=EC,
∴四边形ABCE是平行四边形.
知识点2 平行四边形判定的灵活运用
5.在平面直角坐标系中,已知点A(0,0),B(2,2),C(3,0).若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能为( C )
A.(-1,2) B.(5,2) C.(2,-2) D.(1,-2)
6.在四边形ABCD中,若∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC,且∠D=52°,则
∠B的度数为 52° .
7.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后,连接对应点得到的图形是 平行四边 形,它的周长是 10 cm.
8.如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,且∠1=∠2.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=4,DE=6,求 ABCD的周长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∠A=∠FCD.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.
又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解:∵AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.
∵CE平分∠DCB,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠DEC=∠DCE,∴CD=DE=6.
由(1)知四边形BEDF是平行四边形,
∴BF=DE=6,∴BC=BF+CF=6+4=10,
∴ ABCD的周长=2(BC+CD)=2×(10+6)=32.
9.如图,E是 ABCD的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是( C )
A.∠ABD=∠DCE
B.DF=CF
C.∠AEB=∠BCD
D.∠AEC=∠CBD
10.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,线段EF与对角线AC交于点O且互相平分.若AD=BC=10,AB=6,则四边形ABCD的周长是( B )
A.26
B.32
C.34
D.36
11.(易错题)在平面直角坐标系中,已知A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1)三点,在x轴上方找到点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标是 (-6,5)或(2,5) .
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AE⊥AD,CF⊥BC,
∴∠EAD=∠FCB=90°.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(AAS),∴AD=BC.
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
13.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)E是BC上一点,连接DE,F在DE上,连接AF,CF,若AF=CF,∠DAF=∠DFC,求证:CE=FD.
证明:(1)∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)在AD上取一点G,连接FG,使FG=FA,如图,
则∠FAG=∠FGA.
∵∠DAF=∠DFC,AF=CF,
∴∠FGA=∠DFC,FG=FC,
∴∠FGD=∠CFE.
∵AD∥BC,∴∠GDF=∠FEC,
∴△GFD≌△FCE(AAS),∴CE=FD.
第3课时 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线的性质
1.如图,点D,E分别是△ABC中边BA,BC的中点,若AC=3,则DE的长为( D )
A.2 B. C.3 D.
2.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF.若AD=6,则EF的长为( B )
A.4 B.3 C.6 D.5
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,E是边AC的中点,延长BC到点D,使BC=2CD,那么DE的长是 2 .
4.如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,点F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为 2 .
5.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,点F是CB延长线上一点,且CF=3BF,连接DE,DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12,DE=4.求证:DE=BF.
证明:∵点D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC.
∵CF=3BF,∴BF=BC,∴DE=BF.
知识点2 三角形中位线的应用
6.如图,为测量池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点O,从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B,连接OA,OB,分别取OA,OB的中点C,D,连接CD后,量出CD的长为12 m,那么就可以算出池塘两端A,B的距离是( B )
A.36 m B.24 m C.12 m D.6 m
7.如果四边形的两条对角线长分别为35 cm和25 cm,那么连接这个四边形各边中点所得的四边形的周长是 60 cm.
8.如图①是公园跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,点C为横板AB的中点.小明和小聪去玩跷跷板,小明最高能将小聪翘到1 m高(如图②).
(1)求立柱OC的高度;
(2)若小明想要把小聪最高翘到1.25 m高,则立柱OC应该高多少米
①
②
解:(1)由题意,得OC∥AD.∵点C为AB的中点,
∴OC为△ABD的中位线,∴OC=AD.
∵AD=1 m,∴OC=0.5 m.
(2)∵AD=1.25 m,∴OC=0.625 m,
∴立柱OC应该高0.625 m.
9.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是∠BAC的平分线,AE是边BC上的中线,过点C作CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长为( A )
A.0.5 B.1 C.3.5 D.7
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点N是边BC上一点,点M为边AB上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是( B )
A.2 B. C.3 D.
11. (2024南沙期末)如图,在 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,E是边 AD的中点,连接OE. 若 AB的长为6,△DOE的周长为10,则 △BCD的周长是( D )
A.8 B. 12 C. 16 D. 20
12.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点D,BD=.若E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为 1 .
13.在△ABC中,D是BC上的一点,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的
中点.
求证:EG,HF互相平分.
证明:连接EH,GH,GF,如图.
∵E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,
∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴GH∥EF,
∴四边形EHGF为平行四边形,∴EG,HF互相平分.
14.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图①,BE的延长线与AC相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图②,写出线段AB,AC,EF之间的数量关系: .
(1)证明:∵AE⊥BD,∴∠AED=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE,∴∠ABE=∠ADE,∴AB=AD.
∵AE⊥BD,∴BE=DE.∵点F是BC的中点,
∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).
(2)EF=(AB-AC)
