18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义及性质
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.内角和为360° B.对角线相等
C.对角相等 D.相邻两角互补
2.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=8,则OB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是线段BO上一点.若AB=AE,∠ABE=65°,则∠OAE= .
4.如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,连接CE并延长,交DA的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△BEC.
(2)若CD=4,∠F=30°,求CF的长.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则∠BDC的度数是( )
A.26° B.38° C.42° D.52°
6.(2024花都期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,BC=6,BD=5,则AB= .
7.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,求证:MN⊥BD.
8.如图,点O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,则∠AEO的度数为( )
A.15° B.25° C.30° D.35°
9.如图,在矩形ABCD中,AB=5,CB=12,连接AC,∠BAC的平分线交BC于点E,则线段BE的长为( )
A. B. C.3 D.4
10.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果
∠ADB=30°,那么∠E= °.
11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,CD是△ABC的中线,E是CD的中点,连接AE,BE,若AE⊥BE,垂足为E,则BC的长为 .
12.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点.
(1)求证:AE=AG;
(2)若BE=2,BF=1,AG=5,点H是AD的中点,求GH的长.
13.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,过点D作DF⊥AE交AE于点F,连接CF.
(1)若DF=DC,求证:AF=BE.
(2)若E恰好是边BC的中点,试探究△DFC的形状,并说明理由.
第2课时 矩形的判定
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1.如图,下列条件中能证明平行四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.∠ABD=∠ADB
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.AB=BC
2.若四边形ABCD的对角线相交于点O,OA=OB=OC=OD,∠AOB=60°,则AB∶AC= .
3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若M,N是BD上的两点,且BM=DN,AC=2MO.求证:四边形AMCN是矩形.
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
4.(易错题)证明:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠B=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC①,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠B=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形②.
在上述证明过程中,( )
A.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
5.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.求证:四边形CDOF是矩形.
证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,
∴∠CDO=90°.
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.
知识点3 矩形判定方法的灵活运用
6.(易错题)陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm,宽为3 cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是( )
A
B
C
D
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3 cm,若平行四边形ABCD为矩形,则OB的长为( )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
8.已知:如图,在 ABCD中,E为DC的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接AC,DF.
(1)求证:AD=CF.
(2)小琪说:“添加一个条件,能使四边形ACFD是矩形.”你是否同意小琪的观点 如果同意,请添加一个条件,并给出证明;如果不同意,请说明理由.
9.如图,在△ABC中,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,M是BC边上的动点,MD⊥AB,ME⊥AC,垂足分别是D,E,线段DE的最小值是 cm.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接DF,CF.
(1)求证:四边形ABDF为平行四边形;
(2)求证:四边形ADCF为矩形.
11.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,∠ACD(∠ACB的邻补角)的平分线于点E,F,连接AE,AF.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
知识点1 矩形的定义及性质
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( B )
A.内角和为360° B.对角线相等
C.对角相等 D.相邻两角互补
2.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=8,则OB的长为( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是线段BO上一点.若AB=AE,∠ABE=65°,则∠OAE= 15° .
4.如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,连接CE并延长,交DA的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△BEC.
(2)若CD=4,∠F=30°,求CF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠F=∠BCE.
∵E是AB的中点,∴AE=EB.
∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC(AAS).
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°.
∵CD=4,∠F=30°,∴CF=2CD=2×4=8.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则∠BDC的度数是( D )
A.26° B.38° C.42° D.52°
6.(2024花都期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,BC=6,BD=5,则AB= 8 .
7.如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点,求证:MN⊥BD.
证明:如图,连接MB,MD.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
M为AC的中点,
∴MB=MD=AC.
又∵N为BD的中点,∴MN⊥BD.
8.如图,点O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,则∠AEO的度数为( C )
A.15° B.25° C.30° D.35°
9.如图,在矩形ABCD中,AB=5,CB=12,连接AC,∠BAC的平分线交BC于点E,则线段BE的长为( A )
A. B. C.3 D.4
10.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果
∠ADB=30°,那么∠E= 15 °.
11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,CD是△ABC的中线,E是CD的中点,连接AE,BE,若AE⊥BE,垂足为E,则BC的长为 2 .
12.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点.
(1)求证:AE=AG;
(2)若BE=2,BF=1,AG=5,点H是AD的中点,求GH的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠BAD=90°,∴∠CED=∠ADF.
∵点G是DF的中点,∴GA=GD,
∴∠ADF=∠GAD,∴∠AGE=2∠CED.
又∵∠AED=2∠CED,
∴∠AGE=∠AED,∴AE=AG.
(2)解:∵AE=AG,AG=5,∴AE=5.
又∵在Rt△ABE中,BE=2,
∴AB==11.
∵BF=1,∴AF=AB-BF=11-1=10.
∵点G是DF的中点,点H是AD的中点,
∴GH=AF=5.
13.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE,过点D作DF⊥AE交AE于点F,连接CF.
(1)若DF=DC,求证:AF=BE.
(2)若E恰好是边BC的中点,试探究△DFC的形状,并说明理由.
(1)证明:∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠BAD=90°,AD∥BC,AB=DC,
∴∠B=∠AFD,∠AEB=∠DAF.
∵DF=DC,∴AB=DF.
∴△ABE≌△DFA(AAS),∴BE=AF.
(2)解:△DFC是等腰三角形.理由如下:
如图,延长AE,DC交于点M.
∵在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,∠ABE=∠MCE.
∵E为BC的中点,∴BE=CE.
∴△ABE≌△MCE(AAS),
∴AB=MC.
∵AB=CD,∴MC=CD=DM,
∴C是DM的中点.
∵∠DFM=90°,∴CF=DM,∴CF=CD,
∴△DFC是等腰三角形.
第2课时 矩形的判定
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1.如图,下列条件中能证明平行四边形ABCD是矩形的条件是( C )
A.∠ABD=∠ADB
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.AB=BC
2.若四边形ABCD的对角线相交于点O,OA=OB=OC=OD,∠AOB=60°,则AB∶AC= 1∶2 .
3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若M,N是BD上的两点,且BM=DN,AC=2MO.求证:四边形AMCN是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵MO=NO,∴MN=2MO.
∵AC=2MO,∴MN=AC,
∴平行四边形AMCN是矩形.
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
4.(易错题)证明:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠B=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC①,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠B=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形②.
在上述证明过程中,( C )
A.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
5.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF平分∠COB,CF⊥OF于点F.求证:四边形CDOF是矩形.
证明:∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴2∠COD+2∠COF=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴OD⊥AC,
∴∠CDO=90°.
∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形.
知识点3 矩形判定方法的灵活运用
6.(易错题)陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm,宽为3 cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是( C )
A
B
C
D
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3 cm,若平行四边形ABCD为矩形,则OB的长为( B )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
8.已知:如图,在 ABCD中,E为DC的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接AC,DF.
(1)求证:AD=CF.
(2)小琪说:“添加一个条件,能使四边形ACFD是矩形.”你是否同意小琪的观点 如果同意,请添加一个条件,并给出证明;如果不同意,请说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE.
∵E为DC的中点,∴ED=EC,
∴△ADE≌△FCE(AAS),∴AD=CF.
(2)解:同意.(答案不唯一)添加的条件为DC=AF.
证明如下:
∵AD∥CF,AD=CF,∴四边形ACFD是平行四边形.
∵DC=AF,∴平行四边形ACFD是矩形.
9.如图,在△ABC中,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,M是BC边上的动点,MD⊥AB,ME⊥AC,垂足分别是D,E,线段DE的最小值是 4.8 cm.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接DF,CF.
(1)求证:四边形ABDF为平行四边形;
(2)求证:四边形ADCF为矩形.
证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE.
又∵∠AEF=∠DEB,
∴△BDE≌△FAE(AAS),∴AF=BD,
∴四边形ABDF为平行四边形.
(2)由(1),知AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,
∴AF=CD.
∵AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,D为线段BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCF为矩形.
11.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,∠ACD(∠ACB的邻补角)的平分线于点E,F,连接AE,AF.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
解:(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.
∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,∴∠ECF=90°.
在Rt△CEF中,由勾股定理,得
EF===10,
∴OC=EF=5.
(2)当点O运动到AC的中点时,
四边形AECF是矩形.
理由:当O为AC的中点时,AO=CO.
∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形.
