18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的定义及边的性质
1.如图,AC为菱形ABCD的对角线,已知∠ADC=140°,则∠BCA等于( C )
A.40° B.30° C.20° D.15°
2.若菱形的周长为8,高为2,则菱形的面积为( B )
A.2 B.4 C.8 D.16
3.如图,四边形ABCD是菱形,其中A,B两点的坐标分别为A(0,3),
B(4,0),则点D的坐标为 (0,-2) .
4.如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中,∴△ABE≌△ADF(AAS).
(2)解:设菱形的边长为x,则AB=CD=x.∵CF=2,∴DF=x-2.
∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2.
在Rt△ABE中,根据勾股定理,得
AE2+BE2=AB2,即42+(x-2)2=x2,
解得x=5,
∴菱形的边长是5.
知识点2 菱形对角线的性质
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=16,BD=8,则菱形ABCD的边长为( A )
A.4 B.8 C.8 D.10
6.若菱形的边长为2,较长的一条对角线的长为2,则菱形中两相邻内角的度数比为( D )
A.5∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H.已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
8.如图,已知菱形ABCD的周长为40 cm,两对角线的长度之比为3∶4,则菱形ABCD的面积为 96 cm2.
9.如图,E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点.求证:AF=AE.
证明:连接AC,BD交于点O,连接EF与AC交于点G,如图.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,CD=CB.
∵点E,F分别是边BC,CD的中点,
∴EF∥BD,CF=CE,
∴AC⊥EF,∴FG=EG,
即AC为EF的垂直平分线,∴AF=AE.
10.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( A )
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.(2024花都期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=10,OB=6,则菱形ABCD的面积是 96 .
12.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,
G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若∠B=45°,BC=2,则GH的最小值为 .
13.(易错题)菱形ABCD的周长为20,该菱形一组对边的距离为3,则AC的长为 或3 .
14.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠E=60°,AC=4,求菱形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵BE=AB,∴BE=CD.
∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.
(2)解:∵四边形BECD是平行四边形,∴DB∥CE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥CE,
∴∠ACE=90°.
在Rt△ACE中,∵∠E=60°,
∴∠EAC=30°,∴AE=2EC.
设CE=x,则AE=2x.
∵AC=4,∴(2x)2-x2=(4)2,解得x=4.
∵四边形BECD是平行四边形,∴BD=CE=4,
∴S菱形ABCD=AC·BD=×4×4=8.
15.(2024广州期中)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,进行如下操作:第一次,顺次连接菱形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…,如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是( B )
A. B. C. D.
第2课时 菱形的判定
知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
1.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,补充下列四个条件中的一个,能使平行四边形ABCD成为菱形的是( D )
A.AB=BD B.AC=BD C.∠DAB=90° D.∠AOB=90°
2.如图,在 ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加下列一个条件,可以使四边形AMCN是菱形,这个条件是( C )
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF,求证:四边形BEDF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OB=OD,∴∠EDO=∠FBO.
在△OED和△OFB中,
∴△OED≌△OFB(ASA),∴DE=BF.
又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.
∵EF⊥BD,∴平行四边形BEDF是菱形.
知识点2 四条边相等的四边形是菱形
4.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=
2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 4 cm.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的
中点.
求证:四边形EFGH是菱形.
证明:∵E,F分别是BD,BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线,∴EF=CD.
同理,得GH=CD,FG=AB,EH=AB.
又∵AB=CD,∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.
知识点3 菱形判定方法的综合应用
6.A,B,C,D四个点在同一平面内,给出下列条件:①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC.从中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有( D )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
7.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 24 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD于点F,连接CF.求证:四边形CDEF是菱形.
证明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB,AD平分∠CAB,
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴∠3=∠4.
∵EF∥BC,∴∠3=∠5,∴∠4=∠5,
∴EF=DE,∴EF=DC,
∴四边形CDEF是平行四边形.
又∵CD=DE,∴平行四边形CDEF是菱形.
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判定四边形ABCD是菱形的是( C )
A.AB=AD B.AO2+BO2=AB2 C.AC=BD D.∠BAC=∠ACB
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=3,CD=4,则BO的长为( D )
A.4 B.3 C. D.2
11.如图,两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,若在重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2,则四边形ABCD的面积为 4 .
12.已知A(0,3),B(6,0),点C是x轴正半轴上一点,D是同一平面内一点,若以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 (3,3)或 .
13.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF.
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形 证明你的结论.
(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵点E是AC的中点,∴AE=CE.
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.
(2)解:当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形.
证明如下:
由(1),知AD=CF.
∵AD∥CF,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形.
∵点D是AB的中点,∴CD=AB=AD,
∴平行四边形ADCF是菱形.
14.如图,延长平行四边形ABCD的边AD到点F,使DF=AD,连接BF,交DC于点E,延长CD至点G,使DG=DE,分别连接AE,AG,FG.
(1)求证:△BCE≌△FDE.
(2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时,四边形AEFG是菱形 证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DFE=∠CBE.
∵DF=AD,∴DF=CB.在△BCE和△FDE中,
∴△BCE≌△FDE(AAS).
(2)解:(答案不唯一)当∠ADC=90°时,四边形AEFG是菱形.
证明:∵DF=AD,DG=DE,∴四边形AEFG是平行四边形.
∵∠ADC=90°,∴GE⊥AF,∴平行四边形AEFG是菱形.
15. (2024荔湾期末)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,动点Q从点C出发,沿CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动,设点Q的运动时间为t.
(1)若P,Q两点同时出发,当四边形APQD是矩形时,求t的值;
(2)若点P先出发2.5 s,随后点Q再出发,是否存在t,使得四边形APCQ为菱形,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=90°,DC=AB=8,AD=BC=4,DC∥AB,
当点Q运动t(s)时,AP=t,CQ=2t, 则DQ=8-2t,
当四边形APQD是矩形时,则DQ=AP,即t=8-2t,解得t=.
(2)存在.当点Q运动t(s)时,AP=t+2.5,CQ=2t,
当AP=CQ,即t+2.5=2t时,解得t=2.5,
此时AP=5,CQ=5,BP=8-(2.5+2.5)=3,
∴CP==5,∴AP=CQ,CQ∥AP,
∴四边形APCQ为平行四边形,
又AP=CP,∴平行四边形APCQ为菱形,
故存在当t=2.5时,使得四边形APCQ为菱形.18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
知识点1 菱形的定义及边的性质
1.如图,AC为菱形ABCD的对角线,已知∠ADC=140°,则∠BCA等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
2.若菱形的周长为8,高为2,则菱形的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3.如图,四边形ABCD是菱形,其中A,B两点的坐标分别为A(0,3),
B(4,0),则点D的坐标为 .
4.如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.
知识点2 菱形对角线的性质
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=16,BD=8,则菱形ABCD的边长为( )
A.4 B.8 C.8 D.10
6.若菱形的边长为2,较长的一条对角线的长为2,则菱形中两相邻内角的度数比为( )
A.5∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H.已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
8.如图,已知菱形ABCD的周长为40 cm,两对角线的长度之比为3∶4,则菱形ABCD的面积为 cm2.
9.如图,E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点.求证:AF=AE.
10.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.(2024花都期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=10,OB=6,则菱形ABCD的面积是 .
12.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,
G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若∠B=45°,BC=2,则GH的最小值为 .
13.(易错题)菱形ABCD的周长为20,该菱形一组对边的距离为3,则AC的长为 .
14.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠E=60°,AC=4,求菱形ABCD的面积.
15.(2024广州期中)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,进行如下操作:第一次,顺次连接菱形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…,如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是( )
A. B. C. D.
第2课时 菱形的判定
知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
1.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,补充下列四个条件中的一个,能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )
A.AB=BD B.AC=BD C.∠DAB=90° D.∠AOB=90°
2.如图,在 ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加下列一个条件,可以使四边形AMCN是菱形,这个条件是( )
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF,求证:四边形BEDF是菱形.
知识点2 四条边相等的四边形是菱形
4.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=
2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 cm.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的
中点.
求证:四边形EFGH是菱形.
知识点3 菱形判定方法的综合应用
6.A,B,C,D四个点在同一平面内,给出下列条件:①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC.从中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
7.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 .
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,垂足为E,EF∥BC交AD于点F,连接CF.求证:四边形CDEF是菱形.
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A.AB=AD B.AO2+BO2=AB2 C.AC=BD D.∠BAC=∠ACB
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=3,CD=4,则BO的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
11.如图,两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,若在重合部分构成的四边形ABCD中,AB=3,AC=2,则四边形ABCD的面积为 .
12.已知A(0,3),B(6,0),点C是x轴正半轴上一点,D是同一平面内一点,若以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为 .
13.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF.
(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形 证明你的结论.
14.如图,延长平行四边形ABCD的边AD到点F,使DF=AD,连接BF,交DC于点E,延长CD至点G,使DG=DE,分别连接AE,AG,FG.
(1)求证:△BCE≌△FDE.
(2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时,四边形AEFG是菱形 证明你的结论.
15. (2024荔湾期末)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,动点Q从点C出发,沿CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动,设点Q的运动时间为t.
(1)若P,Q两点同时出发,当四边形APQD是矩形时,求t的值;
(2)若点P先出发2.5 s,随后点Q再出发,是否存在t,使得四边形APCQ为菱形,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
