18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
知识点 正方形的定义和性质
1.(原创题)已知在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,如果添加下列某个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件是( D )
A.∠D=90° B.AC⊥BD
C.AC=BD D.BC=CD且∠C=90°
2.下列图形有四条对称轴的是( C )
A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形
3.已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BA,则∠APD= 112.5 °.
4.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.
求证:CE=DF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°.
又∵E,F分别是AB,BC的中点,∴BE=CF.
在△CEB和△DFC中,
∴△CEB≌△DFC(SAS),∴CE=DF.
5.如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=AB,∠ABE=∠CDF=45°.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:连接AC交BD于点O,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
又∵DF=BE,∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
∵AB=3,∴AC=BD=6.
∵BE=DF=2,∴EF=6-2×2=2,
∴四边形AECF的面积=AC·EF=×6×2=6.
6.如图,在正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点,且AP=AB=4,点H为线段DP上一动点,过点H作HE⊥AC于点E,作HF⊥AD于点F,则HE+HF的值为 2 .
7.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
(2)求证:DP⊥PE;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE= °.
①
②
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵在△BCP和△DCP中,
∴△BCP≌△DCP(SAS).
(2)证明:如图.
由(1),知△BCP≌△DCP,∴∠CBP=∠CDP.
∵PE=PB,∴∠CBP=∠E.
∵∠BCD=90°,∴∠DCE=90°,∴∠E+∠2=90°.
∵∠1=∠2,∴∠1+∠CDP=90°,∴∠DPE=90°,
∴DP⊥PE.
(3)58
第2课时 正方形的判定
知识点 正方形的判定
1.(2024花都期中)在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如果添加一个条件,即可得出四边形ABCD是正方形,那么这个条件可以是( A )
A.AC=BD B. AB∥CD C. ∠A=∠C D. AC⊥BD
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③∠ACB=45°;④OA=OB.上述条件能使矩形ABCD成为正方形的是( B )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
3.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,若添加一个适当的条件使四边形ABCD成为正方形,则添加的条件可以是 ∠ABC=90°(答案不唯一) .(写出一个条件即可)
4.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形,若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正
方形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.
又∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即DB⊥AC,∴ ABCD是菱形.
∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°,
∴∠AEO=∠AEC=30°.
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,
∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴菱形ABCD是正方形.
5.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,DE∥AC,CE∥AD,连接BE,CD.求证:四边形DBEC是正方形.
证明:∵DE∥AC,CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴DE=AC,CE=AD.
∵AD=DB,∴CE=DB.
∵CE∥DB,∴四边形DBEC是平行四边形.
∵AC=BC,DE=AC,∴BC=DE,
∴平行四边形DBEC是矩形.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AD=DB,∴矩形DBEC是正方形.
6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,DE∥CA,DF∥BA,则下列结论中,错误的是( B )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是正方形
C.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
D.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
7.如图,在正方形ABCD中,点E,点F分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若EF∥BC,且∠CEF=20°,则∠EDF的度数为( B )
A.22.5° B.25° C.30° D.35°
8.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 3 .
9.如图,已知在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,PM⊥AD, PN⊥AB,垂足分别为M和N,PE⊥PB交AD于点E.
(1)求证:四边形MANP是正方形;
(2)求证:EM=BN.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AC平分∠DAB.
∵PM⊥AD,PN⊥AB,∴∠PMA=∠PNA=90°,
∴四边形MANP是矩形.
∵AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,
∴PM=PN,∴矩形MANP是正方形.
(2)由(1)知PM=PN,∠MPN=90°.
∵∠EPB=90°,
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°,
∴∠MPE=∠NPB.
在△EPM和△BPN中,
∴△EPM≌△BPN(ASA),∴EM=BN.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为∠BAC的平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若连接DE,交AC于点F,试判断四边形ABDE的形状,并说明理由.
(3)△ABC再添加一个什么条件时,可使四边形ADCE是正方形 请证明你的结论.
(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD为∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠ADC=90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAN=∠CAN,∴∠DAE=90°.
∵CE⊥AN,∴∠AEC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:四边形ABDE是平行四边形.
理由如下:如图.
由(1),知四边形ADCE为矩形,
则AE=CD,AC=DE.
又∵AB=AC,BD=CD,
∴AB=DE,AE=BD,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)解:(答案不唯一)添加条件为∠BAC=90°.
证明如下:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD为∠BAC的平分线,
∴AD=CD=BD.
又∵四边形ADCE是矩形,∴矩形ADCE是正方形.18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
知识点 正方形的定义和性质
1.(原创题)已知在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,如果添加下列某个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件是( )
A.∠D=90° B.AC⊥BD
C.AC=BD D.BC=CD且∠C=90°
2.下列图形有四条对称轴的是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形
3.已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BA,则∠APD= °.
4.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF.
求证:CE=DF.
5.如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
6.如图,在正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点,且AP=AB=4,点H为线段DP上一动点,过点H作HE⊥AC于点E,作HF⊥AD于点F,则HE+HF的值为 .
7.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
(2)求证:DP⊥PE;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),若∠ABC=58°,则∠DPE= °.
①
②
第2课时 正方形的判定
知识点 正方形的判定
1.(2024花都期中)在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如果添加一个条件,即可得出四边形ABCD是正方形,那么这个条件可以是( )
A.AC=BD B. AB∥CD C. ∠A=∠C D. AC⊥BD
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③∠ACB=45°;④OA=OB.上述条件能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
3.如图,平行四边形ABCD的对角线互相垂直,若添加一个适当的条件使四边形ABCD成为正方形,则添加的条件可以是 .(写出一个条件即可)
4.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形,若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正
方形.
5.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,DE∥AC,CE∥AD,连接BE,CD.求证:四边形DBEC是正方形.
6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,DE∥CA,DF∥BA,则下列结论中,错误的是( )
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是正方形
C.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
D.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
7.如图,在正方形ABCD中,点E,点F分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若EF∥BC,且∠CEF=20°,则∠EDF的度数为( )
A.22.5° B.25° C.30° D.35°
8.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 .
9.如图,已知在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,PM⊥AD, PN⊥AB,垂足分别为M和N,PE⊥PB交AD于点E.
(1)求证:四边形MANP是正方形;
(2)求证:EM=BN.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为∠BAC的平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若连接DE,交AC于点F,试判断四边形ABDE的形状,并说明理由.
(3)△ABC再添加一个什么条件时,可使四边形ADCE是正方形 请证明你的结论.
