20.2 数据的波动程度
第1课时 方差(1)
知识点 方差及其意义
1.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击的平均成绩恰好都是9.2环,方差分别是=0.12,=0.59,=0.33,=0.46,在本次射击测试中,这四个人成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2024海珠期末)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植,某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取5株水稻苗,测得苗高(单位:cm)分别是22,23,24,25,26.则这组数据的平均数和方差分别是( )
A.24,3 B. 24,0 C. 24,2 D. 24,1
3.一组数据3,4,5,x,8的众数是5,则这组数据的方差是( )
A.2 B.2.4 C.2.8 D.3
4.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、,则 .(填“>”“=”或“<”)
5.一名战士射击10次,每次命中的环数如下:8,6,7,8,9,10,6,5,4,7.计算这组数据的平均数和方差.
6.某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是( )
A.平均分不变,方差变大 B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变
7.为考察两名实习工人的工作情况,质检部门将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表:
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据,说法正确的是( )
A.甲、乙的众数相同 B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数 D.甲的方差小于乙的方差
8.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试,其成绩(单位:分)分别为86,88,90,92,94,方差为s2=8.0,后来老师发现每人都少加了2分,每人补加2分后,这5人新成绩的方差= .
9.(2023汶川月考)已知一组不全等的数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是2 023,方差是2 024,则新数据2 023,x1,x2,x3,…,xn的平均数是
,方差 2 024(填“=”“>”或“<”).
10.甲、乙两名队员参加射击训练,各自射击10次的成绩分别被制成如图的统计图.
根据以上信息,整理分析数据如下:
队员 平均数/环 中位数/环 众数/环
甲 7 b 7
乙 a 7.5 c
(1)求表格中a,b,c的值;
(2)已知乙队员射击成绩的方差=4.2,计算出甲队员射击成绩的方差,并判断哪个队员的射击成绩较稳定.
11.(1)计算下列各组数据的平均数和方差:
①3,2,5,4,3,1的平均数是 ,方差是 ;
②6,4,10,8,6,2的平均数是 ,方差是 ;
③9,6,15,12,9,3的平均数是 ,方差是 ;
④12,8,20,16,12,4的平均数是 ,方差是 .
(2)根据你的计算结果,你发现方差之间有什么规律
(3)请根据你发现的规律直接写出数据15,10,25,20,15,5的方差.
第2课时 方差(2)
知识点 方差的综合应用
1.某学校开展航天知识竞赛活动.某班决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选择一名学生代表班级参加比赛,经过统计,四名学生成绩的平均数及方差如表所示:
学生 甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 95 98
方差 2 0.4 0.4 1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的学生参赛,那么应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.学校组织学生进行知识竞赛,5名参赛选手的得分分别为96,97,98,
96,98.下列说法中正确的是( )
A.该组数据的中位数为98 B.该组数据的方差为0.7
C.该组数据的平均数为98 D.该组数据的众数为96和98
3.为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加锦标赛,特统计了他们最近10次射击训练的成绩,其中,他们射击的平均成绩都为8.9环,方差分别是=0.8,=13,从稳定性的角度来看, 的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)
4.某校为了改善学生伙食,准备午餐为学生提供鸡腿.现有A,B两家副食品加工厂可以提供规格为75 g的鸡腿,而且它们的价格相同,品质也相近.质检人员分别从两家随机各抽取10个鸡腿,记录它们的质量(单位:g)如下:
A加工厂:74 74 74 75 73 77 78 72 76 77
B加工厂:78 74 77 73 75 75 74 74 75 75
对以上数据进行整理如下:
统计量 平均数/g 中位数/g 众数/g 方差
A加工厂 a 74.5 c 3.4
B加工厂 75 b 75 2
根据以上分析,回答下列问题:
(1)统计表中a= ;b= ;c= .
(2)根据以上信息,估计B加工厂加工的100个鸡腿中,质量为75 g的鸡腿有多少个.
(3)学校应该选购哪家加工厂的鸡腿 请说明理由.
5.(2024广州模拟)已知排球队6名场上队员的身高(单位:cm)分别是181,185,188,190,194,196,现用两名身高分别是186,193的队员换下场上身高为181,194的队员,换人前后,下列统计量中不发生变化的是( )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数
6.某校举行数学知识竞赛,甲、乙两班的参赛人数及成绩(满分100分)的平均数、中位数、方差如下表.规定成绩大于或等于96分为
优异.
班级 参赛人数 平均数/分 中位数/分 方差
甲 40 95 93 5.1
乙 40 95 95 3.6
佳佳根据上述信息得出如下结论:①甲、乙两班学生的平均水平相同;②甲班的成绩比乙班的成绩稳定;③乙班成绩优异的人数比甲班多;④佳佳得94分将排在甲班的前20名.其中正确的结论是( )
A.①② B.①④ C.③④ D.①③④
7.已知五个正数a,b,c,d,e,平均数是4,方差为2,则3a+1,3b+1,
3c+1,3d+1,3e+1这五个数的平均数是 ,方差是 .
8.某大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥,它用粗大的钢索将桥面拉住,为检测钢索的抗拉能力,桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的工厂各随机选取5根钢索进行抗拉能力的检测,数据统计如下:
甲、乙两厂钢索抗拉能力检测统计表
工厂 抗拉能力/百吨 平均数/百吨 中位数/百吨
钢索1 钢索2 钢索3 钢索4 钢索5
甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10
乙厂 10 8 12 7 13 a b
已知甲厂5根钢索抗拉能力的方差为1.04,乙厂5根钢索抗拉能力的方差为c.
(1)求乙厂5根钢索抗拉能力的平均数a(百吨)、中位数b(百吨)和方差c;
(2)桥梁建设方决定从抗拉能力的总体水平和稳定性来决定钢索的质量,则哪一家的钢索质量更优
9.为进一步宣传防震减灾科普知识,增强学生应急避险和自救互救能力,某校组织七、八年级各200名学生进行防震减灾知识测试(满分100分).现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计、整理如下:
七年级:86,90,79,84,74,93,76,81,90,87.
八年级:85,76,90,81,84,92,81,84,83,84.
七、八年级测试成绩频数统计表
成绩x/分 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 84 b 90 36.4
八年级 84 84 c 18.4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)规定分数不低于85分为“优秀”,估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数.
(3)从平均数和方差的角度看,你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的水平较稳定 请说明理由.20.2 数据的波动程度
第1课时 方差(1)
知识点 方差及其意义
1.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击的平均成绩恰好都是9.2环,方差分别是=0.12,=0.59,=0.33,=0.46,在本次射击测试中,这四个人成绩最稳定的是( A )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2024海珠期末)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植,某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取5株水稻苗,测得苗高(单位:cm)分别是22,23,24,25,26.则这组数据的平均数和方差分别是( C )
A.24,3 B. 24,0 C. 24,2 D. 24,1
3.一组数据3,4,5,x,8的众数是5,则这组数据的方差是( C )
A.2 B.2.4 C.2.8 D.3
4.如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、,则 < .(填“>”“=”或“<”)
5.一名战士射击10次,每次命中的环数如下:8,6,7,8,9,10,6,5,4,7.计算这组数据的平均数和方差.
解:平均数为3.
6.某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是( B )
A.平均分不变,方差变大 B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变
7.为考察两名实习工人的工作情况,质检部门将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表:
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据,说法正确的是( D )
A.甲、乙的众数相同 B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数 D.甲的方差小于乙的方差
8.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试,其成绩(单位:分)分别为86,88,90,92,94,方差为s2=8.0,后来老师发现每人都少加了2分,每人补加2分后,这5人新成绩的方差= 8.0 .
9.(2023汶川月考)已知一组不全等的数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是2 023,方差是2 024,则新数据2 023,x1,x2,x3,…,xn的平均数是
2 023 ,方差 < 2 024(填“=”“>”或“<”).
10.甲、乙两名队员参加射击训练,各自射击10次的成绩分别被制成如图的统计图.
根据以上信息,整理分析数据如下:
队员 平均数/环 中位数/环 众数/环
甲 7 b 7
乙 a 7.5 c
(1)求表格中a,b,c的值;
(2)已知乙队员射击成绩的方差=4.2,计算出甲队员射击成绩的方差,并判断哪个队员的射击成绩较稳定.
解:(1)a=×(3+6+4+8+7+8+7+8+10+9)=7,b=7,c=8.
(2)=×[(5-7)2×1+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2×
1]=1.2,
∴<,
∴甲队员的射击成绩较稳定.
11.(1)计算下列各组数据的平均数和方差:
①3,2,5,4,3,1的平均数是 ,方差是 ;
②6,4,10,8,6,2的平均数是 ,方差是 ;
③9,6,15,12,9,3的平均数是 ,方差是 ;
④12,8,20,16,12,4的平均数是 ,方差是 .
(2)根据你的计算结果,你发现方差之间有什么规律
(3)请根据你发现的规律直接写出数据15,10,25,20,15,5的方差.
解:(1)①3 ②6 ③9 15 ④12
(2)规律:若一组数据中的每一个数据都扩大到原来的k倍,则新数据的方差是原数据方差的k2倍.
(3)s2=52×=25×=.
第2课时 方差(2)
知识点 方差的综合应用
1.某学校开展航天知识竞赛活动.某班决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选择一名学生代表班级参加比赛,经过统计,四名学生成绩的平均数及方差如表所示:
学生 甲 乙 丙 丁
平均数 96 98 95 98
方差 2 0.4 0.4 1.6
如果要选一名成绩好且状态稳定的学生参赛,那么应该选择( B )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.学校组织学生进行知识竞赛,5名参赛选手的得分分别为96,97,98,
96,98.下列说法中正确的是( D )
A.该组数据的中位数为98 B.该组数据的方差为0.7
C.该组数据的平均数为98 D.该组数据的众数为96和98
3.为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加锦标赛,特统计了他们最近10次射击训练的成绩,其中,他们射击的平均成绩都为8.9环,方差分别是=0.8,=13,从稳定性的角度来看, 甲 的成绩更稳定.(填“甲”或“乙”)
4.某校为了改善学生伙食,准备午餐为学生提供鸡腿.现有A,B两家副食品加工厂可以提供规格为75 g的鸡腿,而且它们的价格相同,品质也相近.质检人员分别从两家随机各抽取10个鸡腿,记录它们的质量(单位:g)如下:
A加工厂:74 74 74 75 73 77 78 72 76 77
B加工厂:78 74 77 73 75 75 74 74 75 75
对以上数据进行整理如下:
统计量 平均数/g 中位数/g 众数/g 方差
A加工厂 a 74.5 c 3.4
B加工厂 75 b 75 2
根据以上分析,回答下列问题:
(1)统计表中a= ;b= ;c= .
(2)根据以上信息,估计B加工厂加工的100个鸡腿中,质量为75 g的鸡腿有多少个.
(3)学校应该选购哪家加工厂的鸡腿 请说明理由.
(1)75 75 74
(2)解:估计B加工厂加工的100个鸡腿中,质量为75 g的鸡腿有100×=40(个).
(3)解:应该选购B加工厂的鸡腿.理由如下:
由以上分析可知,B加工厂的鸡腿质量与A加工厂的鸡腿质量的平均数都是75 g,但B加工厂鸡腿质量的中位数、众数都是75 g,而且比A加工厂鸡腿质量的中位数、众数大,说明B加工厂的鸡腿质量多集中在75 g附近,而且B加工厂鸡腿质量的方差还比A加工厂鸡腿质量的方差小,说明B加工厂鸡腿质量波动小,
∴应选购B加工厂的鸡腿.
5.(2024广州模拟)已知排球队6名场上队员的身高(单位:cm)分别是181,185,188,190,194,196,现用两名身高分别是186,193的队员换下场上身高为181,194的队员,换人前后,下列统计量中不发生变化的是( B )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数
6.某校举行数学知识竞赛,甲、乙两班的参赛人数及成绩(满分100分)的平均数、中位数、方差如下表.规定成绩大于或等于96分为
优异.
班级 参赛人数 平均数/分 中位数/分 方差
甲 40 95 93 5.1
乙 40 95 95 3.6
佳佳根据上述信息得出如下结论:①甲、乙两班学生的平均水平相同;②甲班的成绩比乙班的成绩稳定;③乙班成绩优异的人数比甲班多;④佳佳得94分将排在甲班的前20名.其中正确的结论是( B )
A.①② B.①④ C.③④ D.①③④
7.已知五个正数a,b,c,d,e,平均数是4,方差为2,则3a+1,3b+1,
3c+1,3d+1,3e+1这五个数的平均数是 13 ,方差是 18 .
8.某大桥是目前桥梁设计中广泛采用的斜拉桥,它用粗大的钢索将桥面拉住,为检测钢索的抗拉能力,桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的工厂各随机选取5根钢索进行抗拉能力的检测,数据统计如下:
甲、乙两厂钢索抗拉能力检测统计表
工厂 抗拉能力/百吨 平均数/百吨 中位数/百吨
钢索1 钢索2 钢索3 钢索4 钢索5
甲厂 10 11 9 10 12 10.4 10
乙厂 10 8 12 7 13 a b
已知甲厂5根钢索抗拉能力的方差为1.04,乙厂5根钢索抗拉能力的方差为c.
(1)求乙厂5根钢索抗拉能力的平均数a(百吨)、中位数b(百吨)和方差c;
(2)桥梁建设方决定从抗拉能力的总体水平和稳定性来决定钢索的质量,则哪一家的钢索质量更优
解:(1)a=(10+8+12+7+13)÷5=10;
把这些数从小到大排列为7,8,10,12,13,最中间的数是10,则中位数b=10;
c=×[(10-10)2+(8-10)2+(12-10)2+(7-10)2+(13-10)2]=5.2.
(2)甲厂的钢索质量更优.从平均数来看,甲厂的平均数是10.4百吨,而乙厂的平均数是10百吨,∴甲厂高于乙厂;从中位数来看甲厂和乙厂一样;从方差来看,甲厂的方差是1.04,而乙厂的方差是5.2,∴甲厂的方差小于乙厂的方差,∴甲厂更稳定.
∴从总体来看甲厂的钢索质量更优.
9.为进一步宣传防震减灾科普知识,增强学生应急避险和自救互救能力,某校组织七、八年级各200名学生进行防震减灾知识测试(满分100分).现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计、整理如下:
七年级:86,90,79,84,74,93,76,81,90,87.
八年级:85,76,90,81,84,92,81,84,83,84.
七、八年级测试成绩频数统计表
成绩x/分 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 84 b 90 36.4
八年级 84 84 c 18.4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= .
(2)规定分数不低于85分为“优秀”,估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数.
(3)从平均数和方差的角度看,你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的水平较稳定 请说明理由.
(1)2 85 84
(2)估计七、八年级测试成绩达到“优秀”的学生分别有100人和60人.
(3)解:八年级掌握防震减灾科普知识的水平较稳定.
理由如下:
∵七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,
∴八年级的学生掌握防震减灾科普知识的水平较稳定.
