第十八章平行四边形
(时间:120分钟 满分:120分)
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若
∠DCE=132°,则∠A等于( )
A.38° B.48° C.58° D.66°
2.如图,在△OAB中,∠AOB=90°,∠A=30°,D为线段AB的中点,则
∠BOD的度数是( )
A.60° B.50° C.45° D.30°
3.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为AD的中点,连接OE,∠ABC=60°,BD=4,则OE的长为( )
A.4 B.2 C.2 D.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P为△ABC外一点,连接AP,BP,点M,N分别为AP,BP的中点,若MN=2,则BC的长为( )
A.2 B. C. D.5
5.下列命题是真命题的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
6.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若∠A=36°,则∠AEB的度数是( )
A.36° B.72° C.108° D.118°
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AC,BD上的点,且OE=OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为( )
A.50° B.55° C.65° D.70°
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A.4 B.4 C.10 D.8
9.如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA的中点,点F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是( )
A.3 B.+1 C.2+1 D.2+
10.如图,菱形ABCD的周长为 20 cm,DE⊥AB,垂足为E,AE∶DE=4∶3,则下列结论:①DE=3 cm;②EB=1 cm;③S菱形ABCD=15 cm2;④AC=3 cm.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.如图,在 ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则 ABCD的周长为 .
12.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,E为OB的中点,F为AD的中点,连接EF,则EF的长为 .
13.如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边向外作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMB的度数是 °.
14.如图,在矩形ABCD中,连接BD,过点C作∠DBC的平分线BE的垂线,垂足为E,且交BD于点F,过点C 作∠BDC的平分线DH的垂线,垂足为H,且交BD于点G,连接HE,若BC=2,CD=,则线段HE的长度为 .
15.(2024广州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E是边AB的中点,点P是边AD上的一个动点,△PEA关于PE的对称图形为△PEF,连接CF.当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时,AP的长为 ;当线段CF的长度最小时,AP的长为 .
三、解答题(一):本大题共3小题,第16题10分,第17题6分,第18题8分,共24分.
16.如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,过点B作BE⊥AC于点E.
(1)用尺规完成以下基本作图:过点D作AC的垂线,垂足为F,连接BF,DE.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)问所作的图形中,求证:四边形BEDF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥DC,
∴ .
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEA=∠DFC=90°,∠BEF=∠DFE=90°,
∴ .
在△BAE和△DCF中,
∴△BAE≌△DCF(AAS),
∴ .
∵BE=DF,BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
17.如图,在平行四边形ABCD中,点P是AB边上一点(不与点A,B重合),过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,且∠QPA=∠PCB.求证:四边形ABCD是矩形.
提示:证明平行四边形ABCD的一个角等于90°.
18.如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证:△DCE≌△BCE;
(2)求证:∠AFD=∠EBC.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,AB上,且AE=BF,连接CE,DF相交于点M.
(1)当∠ADF=40°时,求∠DCE的度数;
(2)判断CE与DF的位置关系,并证明.
20.如图,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形 请说明理由.
21.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO=CO,∠BCA=∠CAD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)E,F,G分别是BO,CO,AD的中点,连接EF,GE,GF,若BD=2AB,BC=15,AC=16,求△EFG的周长.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分.
22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若AB=8,BC=10,且AG⊥CF于点G,求AG的长.
23.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P 的运动而运动,PE=PD总成立.
(1)如图①,当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系.(直接写出结论,不必证明)
(2)如图②,当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图③,当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图③画出满足条件的图形,此时PE与PB有怎样的关系 (直接写出结论不必证明)第十八章平行四边形
(时间:120分钟 满分:120分)
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若
∠DCE=132°,则∠A等于( B )
A.38° B.48° C.58° D.66°
2.如图,在△OAB中,∠AOB=90°,∠A=30°,D为线段AB的中点,则
∠BOD的度数是( A )
A.60° B.50° C.45° D.30°
3.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为AD的中点,连接OE,∠ABC=60°,BD=4,则OE的长为( C )
A.4 B.2 C.2 D.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P为△ABC外一点,连接AP,BP,点M,N分别为AP,BP的中点,若MN=2,则BC的长为( C )
A.2 B. C. D.5
5.下列命题是真命题的是( D )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
6.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若∠A=36°,则∠AEB的度数是( B )
A.36° B.72° C.108° D.118°
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AC,BD上的点,且OE=OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE=25°,则∠CBE的度数为( C )
A.50° B.55° C.65° D.70°
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( A )
A.4 B.4 C.10 D.8
9.如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA的中点,点F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是( D )
A.3 B.+1 C.2+1 D.2+
10.如图,菱形ABCD的周长为 20 cm,DE⊥AB,垂足为E,AE∶DE=4∶3,则下列结论:①DE=3 cm;②EB=1 cm;③S菱形ABCD=15 cm2;④AC=3 cm.其中正确的结论有( A )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.如图,在 ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则 ABCD的周长为 15 .
12.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD相交于点O,E为OB的中点,F为AD的中点,连接EF,则EF的长为 .
13.如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边向外作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMB的度数是 60 °.
14.如图,在矩形ABCD中,连接BD,过点C作∠DBC的平分线BE的垂线,垂足为E,且交BD于点F,过点C 作∠BDC的平分线DH的垂线,垂足为H,且交BD于点G,连接HE,若BC=2,CD=,则线段HE的长度为 .
15.(2024广州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E是边AB的中点,点P是边AD上的一个动点,△PEA关于PE的对称图形为△PEF,连接CF.当点F恰好落在矩形ABCD的对称轴上时,AP的长为 1 ;当线段CF的长度最小时,AP的长为 .
三、解答题(一):本大题共3小题,第16题10分,第17题6分,第18题8分,共24分.
16.如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,过点B作BE⊥AC于点E.
(1)用尺规完成以下基本作图:过点D作AC的垂线,垂足为F,连接BF,DE.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)问所作的图形中,求证:四边形BEDF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥DC,
∴ .
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠BEA=∠DFC=90°,∠BEF=∠DFE=90°,
∴ .
在△BAE和△DCF中,
∴△BAE≌△DCF(AAS),
∴ .
∵BE=DF,BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
解:(1)如图.
(2)∠BAE=∠DCF BE∥DF BE=DF
17.如图,在平行四边形ABCD中,点P是AB边上一点(不与点A,B重合),过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,且∠QPA=∠PCB.求证:四边形ABCD是矩形.
提示:证明平行四边形ABCD的一个角等于90°.
18.如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证:△DCE≌△BCE;
(2)求证:∠AFD=∠EBC.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠DCE=∠BCE.
又∵CE=CE,∴△DCE≌△BCE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AF,∴∠CDF=∠AFD.
∵△DCE≌△BCE,∴∠CDF=∠EBC,
∴∠AFD=∠EBC.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,AB上,且AE=BF,连接CE,DF相交于点M.
(1)当∠ADF=40°时,求∠DCE的度数;
(2)判断CE与DF的位置关系,并证明.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=AD=AB,∠CDE=∠DAF=90°.
又∵AE=BF,∴DE=AF.
在△CDE和△DAF中,
∴△CDE≌△DAF(SAS),∴∠DCE=∠ADF.
∵∠ADF=40°,∴∠DCE=40°.
(2)CE,DF的位置关系为互相垂直.
证明:由(1),知∠DCE=∠ADF.
∵∠ADF+∠MDC=∠CDE=90°,
∴∠DCE+∠MDC=90°,∴∠DMC=90°,
∴CE⊥DF,即CE,DF的位置关系为互相垂直.
20.如图,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形 请说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠CDB,
∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥DF.
又∵BF∥DE,∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)解:当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.
理由如下:
∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,
∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°,
∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.
又∵四边形BEDF是平行四边形,
∴平行四边形BEDF是菱形.
21.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO=CO,∠BCA=∠CAD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)E,F,G分别是BO,CO,AD的中点,连接EF,GE,GF,若BD=2AB,BC=15,AC=16,求△EFG的周长.
(1)证明:∵∠BCA=∠CAD,∴AD∥BC.
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△COB(ASA),
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)解:连接DF,如图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=15,AB=CD,AD∥BC,BD=2OD,OA=OC=AC=8.
∵BD=2AB,∴AB=OD,∴DO=DC.
又∵点F是OC的中点,∴OF=OC=4,DF⊥OC,
∴AF=OA+OF=12,
∴在Rt△AFD中,
DF===9.
∵点G是AD的中点,∠AFD=90°,
∴DG=FG=AD=7.5.
∵点E,点F分别是OB,OC的中点,
∴EF是△OBC的中位线,
∴EF=BC=7.5,EF∥BC,∴EF=DG,EF∥DG,
∴四边形GEFD是平行四边形,∴GE=DF=9,
∴△EFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分.
22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若AB=8,BC=10,且AG⊥CF于点G,求AG的长.
(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵点E是AD的中点,AD是BC边上的中线,
∴AE=DE,BD=CD.
在△AFE和△DBE中,
∵∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE,
∴△AFE≌△DBE(AAS),
∴AF=BD,∴AF=DC.
(2)解:四边形ADCF是菱形.
证明如下:∵AF∥BC,AF=DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥AB,AD是边BC上的中线,
∴AD=BC=DC,
∴平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:在Rt△ABC中,∵AB=8,BC=10,
∴AC=6,AD=CF=5,
∴S△ABC=AC·AB=×6×8=24,
∴S△ADC=12,∴S菱形ADCF=24,
∴CF·AG=24,∴AG=4.8.
23.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P 的运动而运动,PE=PD总成立.
(1)如图①,当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系.(直接写出结论,不必证明)
(2)如图②,当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)如图③,当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图③画出满足条件的图形,此时PE与PB有怎样的关系 (直接写出结论不必证明)
解:(1)①PE=PB;②PE⊥PB.
(2)(1)中猜想的结论成立.证明如下:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴CD=CB,∠ACD=∠ACB.
又PC=PC,∴△PDC≌△PBC,∴PD=PB.
∵PE=PD,∴PE=PB.
②∵△PDC≌△PBC,∴∠PDC=∠PBC.
∵PE=PD,∴∠PDE=∠PED,
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°,
∴∠EPB=360°-(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°,
∴PE⊥PB.
(3)如图,①PE=PB;②PE⊥PB.
