第十七章 勾股定理 章末复习
[本章知识结构图]
[中考演练]
考点1 勾股定理
1.(2023泸州)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
2.(2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合图(如图),其大意是:今有圆形板材,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸,则BC的长是( )
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.(百色中考)活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3
4.(2023扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由四个全等的三角形和一个小正方形组成的.如图,直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 .
5.(深圳中考)如图,已知∠BAC=60°,AD平分∠BAC,且AD=10,作AD的垂直平分线交AC于点F,连接DF,作DE⊥AC,则△DEF的周长为
.
6.(钦州中考)解答下列问题:
(1)在数轴上作出表示的点.
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E.求证:AE2=BE2+AC2.
7.(2024长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
考点2 勾股定理的逆定理
8.(毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2,3,4
9.(常德中考)阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数.有下面四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是( )
A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
10.(北京中考)如图的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= ° (点A,B,P是网格线交点).
11.(呼和浩特中考)如图,在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A,∠B的和与∠C的大小关系;
(2)求证:△ABC的内角和等于180°;
(3)若=,求证:△ABC是直角三角形.
考点3 勾股定理及逆定理的应用
12.(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中记载了一个问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈(1丈=10尺,1尺=10寸).问门高、宽各是多少 如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .
13.(2023成都期末)某商场准备开展元旦促销活动,现采用移动广播车进行广播宣传.如图,移动广播车在笔直的公路MN上以200 m/min的速度沿MN方向行驶,小丽的家在公路MN的一侧,到公路的距离AB=300 m.假如移动广播车周围500 m以内能听到广播宣传,小丽在家能够听到广播宣传吗 若能,请求出她总共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由.第十七章 勾股定理 章末复习
[本章知识结构图]
[中考演练]
考点1 勾股定理
1.(2023泸州)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( C )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
2.(2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合图(如图),其大意是:今有圆形板材,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸,则BC的长是( C )
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
3.(百色中考)活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为( C )
A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3
4.(2023扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由四个全等的三角形和一个小正方形组成的.如图,直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 96 .
5.(深圳中考)如图,已知∠BAC=60°,AD平分∠BAC,且AD=10,作AD的垂直平分线交AC于点F,连接DF,作DE⊥AC,则△DEF的周长为
5+5 .
6.(钦州中考)解答下列问题:
(1)在数轴上作出表示的点.
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E.求证:AE2=BE2+AC2.
解:如图①,点A即为所求.
①
(2)证明:如图②,连接AD.
②
∵DE⊥AB,D是BC的中点,
∴BD=CD.
∵∠C=90°,
∴AE2=AD2-DE2=AC2+CD2-(BD2-BE2)=BE2+AC2.
7.(2024长沙)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
解:(1)由作图可知,MN是线段AB的垂直平分线,
∴在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点.∴CD=AB=×2=.
(2)在Rt△ABC中,
BC====4.
∵MN是线段AB的垂直平分线,∴EA=EB.
∴△ACE的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=
AC+BC=2+4=6.
考点2 勾股定理的逆定理
8.(毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( B )
A.,, B.1,, C.6,7,8 D.2,3,4
9.(常德中考)阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数.有下面四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是( C )
A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
10.(北京中考)如图的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= 45 ° (点A,B,P是网格线交点).
11.(呼和浩特中考)如图,在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A,∠B的和与∠C的大小关系;
(2)求证:△ABC的内角和等于180°;
(3)若=,求证:△ABC是直角三角形.
(1)解:∠A+∠B<∠C.
(2)证明:如图,过点B作MN∥AC,
则∠MBA=∠A,∠NBC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠MBA+∠ABC+∠NBC=180°(平角的定义),
∴∠A+∠ABC+∠C=180°(等量代换),
即△ABC的内角和等于180°.
(3)证明:∵=,
∴ac=(a+b+c)(a-b+c)=[(a2+2ac+c2)-b2],
∴2ac=a2+2ac+c2-b2,∴a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形.
考点3 勾股定理及逆定理的应用
12.(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中记载了一个问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈(1丈=10尺,1尺=10寸).问门高、宽各是多少 如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 (x-6.8)2+x2=102 .
13.(2023成都期末)某商场准备开展元旦促销活动,现采用移动广播车进行广播宣传.如图,移动广播车在笔直的公路MN上以200 m/min的速度沿MN方向行驶,小丽的家在公路MN的一侧,到公路的距离AB=300 m.假如移动广播车周围500 m以内能听到广播宣传,小丽在家能够听到广播宣传吗 若能,请求出她总共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由.
解:小丽在家能听到广播宣传.
∵小丽的家到公路的距离AB=300 m<500 m,
∴小丽在家能听到广播宣传.
如图,假设当移动广播车行驶到P点时小丽开始听到广播,行驶到Q点时小丽开始听不到广播,
则AP=AQ=500 m,AB=300 m,
∴BP=BQ==400(m),∴PQ=800 m,
∴小丽听到广播宣传的时间为800÷200=4(min),
∴她总共能听到4 min的广播宣传.
