第十七章 勾股定理专题二 利用勾股定理解决折叠、最短路程问题
类型1 利用勾股定理解决折叠问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=30,BC=40.将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,且与点B′重合,AE为折痕,则EB′的长为( )
A.12 B.25 C.20 D.15
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=,点D在AB上,将△ACD沿CD折叠,点A落在点A1处,A1C与AB相交于点E.若A1D∥BC,则 A1E 的长为( )
A.2 B. C. D.4-
3.如图,在三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=5.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处.再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE= .
4.如图,折叠长方形纸片ABCD,先折出折痕BD,展开后再折叠,使点A落在对角线BD上的点E处,展开后得到折痕DG,连接GE.若AB=4,
BC=3,则AG的长为 .
5.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则△BDE的面积为 .
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边BC上一点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE= .
7.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,点E是线段AB上一动点,点F在线段AD上.
(1)沿EF折叠,使点A落在边CD上的点G处(如图),若DG=3,求AE的长;
(2)若沿EF折叠后,点A落在矩形ABCD的边CD上,求DG的长度范围.
类型2 利用勾股定理解决最短路程问题
8.如图,AC⊥BC于点C,连接AB,点D是AB上的动点,AC=12,BC=5,则点C到点D的最短距离是( )
A.3 B.4 C. D.
9.如图,一长方体木块长AB=6,宽BC=5,高BB1=2.一只蚂蚁从木块点A处,沿木块表面爬行到点C1处的最短路程为( )
A. B. C.5 D.4
10.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5 m的半圆,其边缘AB=CD=20 m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行路程最短,则他滑行的最短路程约为(π取3)( )
A.30 m B.28 m C.25 m D.22 m
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直平分BD,∠BAD=120°,
AB=4,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值是
.
12.如图,圆柱形无盖玻璃容器的高为18 cm,底面周长为60 cm,在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一只苍蝇,则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线的长度为 cm.
13.如图,在长方形ABCD中,AD=15,AB=12,E是AB上一点,且AE=8,F是BC上一动点.若将△EBF沿EF折叠后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 .
14.如图,已知圆锥的母线长为4,侧面展开后圆心角是直角,在圆锥的一条母线SA的中点C处有一只蚊子,在点A处有一只壁虎,为避免被蚊子发现,壁虎绕着圆锥表面爬行一圈到C处捕捉蚊子,试求壁虎爬行的最短路程.第十七章 勾股定理专题二 利用勾股定理解决折叠、最短路程问题
类型1 利用勾股定理解决折叠问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=30,BC=40.将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,且与点B′重合,AE为折痕,则EB′的长为( D )
A.12 B.25 C.20 D.15
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=,点D在AB上,将△ACD沿CD折叠,点A落在点A1处,A1C与AB相交于点E.若A1D∥BC,则 A1E 的长为( B )
A.2 B. C. D.4-
3.如图,在三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=5.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处.再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE= .
4.如图,折叠长方形纸片ABCD,先折出折痕BD,展开后再折叠,使点A落在对角线BD上的点E处,展开后得到折痕DG,连接GE.若AB=4,
BC=3,则AG的长为 .
5.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则△BDE的面积为 .
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边BC上一点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时,BE= 3或6 .
7.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,点E是线段AB上一动点,点F在线段AD上.
(1)沿EF折叠,使点A落在边CD上的点G处(如图),若DG=3,求AE的长;
(2)若沿EF折叠后,点A落在矩形ABCD的边CD上,求DG的长度范围.
解:(1)如图,过点G作GH⊥AB于点H,
设AE=y,则HE=y-3.
在Rt△EHG中,y2=62+(y-3)2,解得y=,∴AE=.
(2)若沿EF翻折后,点A落在矩形ABCD的边CD上,观察图形可知AF的最大值为6.
∵点F在线段AD上,∴DG的最大值为6.当点E与点B重合时,AF最小,此时DG最小,
∴CG===8,∴DG=CD-CG=10-8=2.
综上所述,2≤DG≤6.
类型2 利用勾股定理解决最短路程问题
8.如图,AC⊥BC于点C,连接AB,点D是AB上的动点,AC=12,BC=5,则点C到点D的最短距离是( D )
A.3 B.4 C. D.
9.如图,一长方体木块长AB=6,宽BC=5,高BB1=2.一只蚂蚁从木块点A处,沿木块表面爬行到点C1处的最短路程为( B )
A. B. C.5 D.4
10.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5 m的半圆,其边缘AB=CD=20 m.小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行路程最短,则他滑行的最短路程约为(π取3)( C )
A.30 m B.28 m C.25 m D.22 m
11.如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直平分BD,∠BAD=120°,
AB=4,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值是
2 .
12.如图,圆柱形无盖玻璃容器的高为18 cm,底面周长为60 cm,在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一只苍蝇,则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线的长度为 34 cm.
13.如图,在长方形ABCD中,AD=15,AB=12,E是AB上一点,且AE=8,F是BC上一动点.若将△EBF沿EF折叠后,点B落在点P处,则点P到点D的最短距离为 13 .
14.如图,已知圆锥的母线长为4,侧面展开后圆心角是直角,在圆锥的一条母线SA的中点C处有一只蚊子,在点A处有一只壁虎,为避免被蚊子发现,壁虎绕着圆锥表面爬行一圈到C处捕捉蚊子,试求壁虎爬行的最短路程.
解:如图,将圆锥侧面展开得展开图,取SA1的中点C,连接AC,则AC是壁虎爬行的最短路线.
∵圆锥侧面展开后圆心角是直角,∴在Rt△ASC中,SC=2,SA=4,
∴AC===2,
∴壁虎爬行的最短路程为2.
