第十七章勾股定理
(时间:120分钟 满分:120分)
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列4组数中,能作为直角三角形的三边长的是( )
A.5,24,25 B.0.3,0.4,0.5 C.32,42,52 D.8,12,13
2.点P(-,1)在平面直角坐标系中,则点P到原点的距离是( )
A.2 B.-2 C.10 D.5
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB∶BC=∶,AC=5,则AB等于( )
A.5 B. C. D.
4.下列命题的逆命题正确的是( )
A.若a=b,则a2=b2 B.若a>0,b>0,则ab>0
C.等边三角形是锐角三角形 D.同位角相等,两直线平行
5.如图,A(8,0),C(-2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为( )
A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0) D.(0,6)
6.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m处,发现此时绳子末端距离地面
2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边长,a,b为直角边长,a+b=17,c=13,则Rt△ABC的面积为( )
A.30 B.60 C.110.5 D.169
8.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为( )
① ②
A. B. C.1 D.2
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
10.如图①,分别以Rt△PMN(MN>NP)的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形,再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内.结论Ⅰ:CF=AG;结论Ⅱ:四边形ABDC的面积与
△EFG的面积相等.关于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是( )
① ②
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对,Ⅱ对 D.Ⅰ对,Ⅱ不对
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是 .
12.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则△ABC是 三角形.
13.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D,E是格点,则∠ABD+∠CBE的度数为 .
14.如图,在△ABC中,AC=24,AB=25,BC=7.在AB上取一点E,AC上取一点F,连接EF,若∠EFC=125°,过点B作BD∥EF,且点D在AB的右侧,则∠CBD的度数为 .
15.观察下列一组数:
列举3,4,5,猜想32=4+5;
列举5,12,13,猜想52=12+13;
列举7,24,25,猜想72=24+25;
……;
列举13,b,c,猜想132=b+c.
请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得b= ,c= .
三、解答题(一):本大题共3小题,第16题6分,第17,18题各8分,共22分.
16.已知三角形的三边长分别为,5,2,求最长边上的高.
17.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD.已知AB=10,
AC=17,BD=6,AD=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求BC的长.
18.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称之为“无字证明”.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.
(1)此图可以用来证明你学过的什么定理 请写出定理的内容.
(2)已知直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,图①、图②的面积相等,请你根据此图证明(1)中的定理.
① ②
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,-1),B(3,2),C(1,-2).
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长和面积.
20.把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF,AB=4,BC=8.
(1)求DF的长;(2)求重叠部分的面积.
21.在某段限速公路(公路视为直线)BC上,交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即 m/s),并在离该公路100 m处设置了一个测速点A(即OA=100 m).在如图的平面直角坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s,通过计算判断该汽车在这段限速公路上是否超速.(参考数据:≈1.7)
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题12分,第23题14分,共26分.
22.综合与实践 项目主题:课桌挂钩顶端到地面距离的计算.
项目背景:现如今人们的生活水平不断提高,同质化的商品很难得到人们的关注.为了方便同学们更好地放置自己的物品,数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习.
驱动任务:根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离.
研究步骤:(1)如图,这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩,他们利用课余时间完成了如下实践探究,形成了如下实验报告.
调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算
调查方式 测量,查看说明书
测量图示
(2)已知地面MN为水平面,桌面AE是水平面,DP∥MN,EF为课桌的高度,挂钩顶端D到地面的距离为DG,最后通过勾股定理及二次根式的有关知识,计算后得出结论.
(3)测量数据:
元素 EF AB BC CD ∠ABC ∠BCD ∠CDP
数据 78 cm 10 cm 10 cm 4 cm 90° 90° 45°
问题解决:请根据测量数据,求课桌挂钩顶端D到地面的距离DG.
23.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动.设点P的运动时间为t s.
(1)AC= ,当点P在AC上时,CP= (用含t的代数式
表示);
(2)如图②,若点P在∠ABC的平分线上,求t的值;
(3)在整个运动过程中,当△BCP是等腰三角形时,求t的值.
① ② 备用图第十七章勾股定理
(时间:120分钟 满分:120分)
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列4组数中,能作为直角三角形的三边长的是( B )
A.5,24,25 B.0.3,0.4,0.5 C.32,42,52 D.8,12,13
2.点P(-,1)在平面直角坐标系中,则点P到原点的距离是( A )
A.2 B.-2 C.10 D.5
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB∶BC=∶,AC=5,则AB等于( B )
A.5 B. C. D.
4.下列命题的逆命题正确的是( D )
A.若a=b,则a2=b2 B.若a>0,b>0,则ab>0
C.等边三角形是锐角三角形 D.同位角相等,两直线平行
5.如图,A(8,0),C(-2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为( D )
A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0) D.(0,6)
6.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m处,发现此时绳子末端距离地面
2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( D )
A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,c为斜边长,a,b为直角边长,a+b=17,c=13,则Rt△ABC的面积为( A )
A.30 B.60 C.110.5 D.169
8.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,则点B到OC的距离为( B )
① ②
A. B. C.1 D.2
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是( C )
A. B.4 C. D.5
10.如图①,分别以Rt△PMN(MN>NP)的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形,再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内.结论Ⅰ:CF=AG;结论Ⅱ:四边形ABDC的面积与
△EFG的面积相等.关于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是( A )
① ②
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对,Ⅱ对 D.Ⅰ对,Ⅱ不对
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是 两边相等的三角形为等腰三角形 .
12.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,则△ABC是 直角 三角形.
13.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D,E是格点,则∠ABD+∠CBE的度数为 45° .
14.如图,在△ABC中,AC=24,AB=25,BC=7.在AB上取一点E,AC上取一点F,连接EF,若∠EFC=125°,过点B作BD∥EF,且点D在AB的右侧,则∠CBD的度数为 35° .
15.观察下列一组数:
列举3,4,5,猜想32=4+5;
列举5,12,13,猜想52=12+13;
列举7,24,25,猜想72=24+25;
……;
列举13,b,c,猜想132=b+c.
请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得b= 84 ,c= 85 .
三、解答题(一):本大题共3小题,第16题6分,第17,18题各8分,共22分.
16.已知三角形的三边长分别为,5,2,求最长边上的高.
解:∵()2+22=25,52=25,
∴()2+22=52,
∴该三角形为直角三角形.
设最长边上的高为h,
∵×2×=×5h,
∴h=,
∴最长边上的高为.
17.如图,在△ABC中,点D是BC边上一点,连接AD.已知AB=10,
AC=17,BD=6,AD=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求BC的长.
解:(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2,∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°.
(2)在Rt△ACD中,CD==15,∴BC=BD+CD=6+15=21.
18.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称之为“无字证明”.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.
(1)此图可以用来证明你学过的什么定理 请写出定理的内容.
(2)已知直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,图①、图②的面积相等,请你根据此图证明(1)中的定理.
① ②
解:(1)勾股定理.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)题图①的面积S1=ab×3+a2+b2,题图②的面积S2=ab×3+c2.
∵题图①、题图②的面积相等,∴ab×3+a2+b2=ab×3+c2,∴a2+b2=c2.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,-1),B(3,2),C(1,-2).
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长和面积.
解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:由题意,得AC2=12+22=5,AC=,
BC2=22+42=20,BC==2,AB2=32+42=25,AB==5,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(2)△ABC的周长为AC+BC+AB=+2+5=3+5.
△ABC的面积为AC·BC=××2=5.
20.把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF,AB=4,BC=8.
(1)求DF的长;(2)求重叠部分的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是长方形,
∴∠C=90°,CD=AB=4.
由折叠的性质,得BF=DF.
∵在Rt△DFC中,由勾股定理,得DF2=CF2+CD2,
∴DF2=(8-DF)2+16,∴DF=5.
(2)由折叠的性质,得AE=A′E,AB=A′D=4,
∠A=∠A′=90°.
设AE=A′E=x,则DE=8-x.
在Rt△A′ED中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,
解得x=3,∴AE=3,
∴DE=8-3=5,
∴重叠部分的面积为×5×4=10.
21.在某段限速公路(公路视为直线)BC上,交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即 m/s),并在离该公路100 m处设置了一个测速点A(即OA=100 m).在如图的平面直角坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s,通过计算判断该汽车在这段限速公路上是否超速.(参考数据:≈1.7)
解:(1)在Rt△AOB中,OA=100 m,∠BAO=60°,
∴∠ABO=30°,∴AB=2OA=200 m,
∴OB===100(m).
在Rt△AOC中,∠OAC=45°,∴OC=OA=100 m.
∴点B的坐标为(-100,0),点C的坐标为(100,0).
(2)BC=BO+OC=(100+100)m,
≈18(m/s),
∵18>,∴该汽车在这段限速公路上超速了.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题12分,第23题14分,共26分.
22.综合与实践 项目主题:课桌挂钩顶端到地面距离的计算.
项目背景:现如今人们的生活水平不断提高,同质化的商品很难得到人们的关注.为了方便同学们更好地放置自己的物品,数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习.
驱动任务:根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离.
研究步骤:(1)如图,这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩,他们利用课余时间完成了如下实践探究,形成了如下实验报告.
调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算
调查方式 测量,查看说明书
测量图示
(2)已知地面MN为水平面,桌面AE是水平面,DP∥MN,EF为课桌的高度,挂钩顶端D到地面的距离为DG,最后通过勾股定理及二次根式的有关知识,计算后得出结论.
(3)测量数据:
元素 EF AB BC CD ∠ABC ∠BCD ∠CDP
数据 78 cm 10 cm 10 cm 4 cm 90° 90° 45°
问题解决:请根据测量数据,求课桌挂钩顶端D到地面的距离DG.
解:连接AC,交DP于点H,如图.
∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC.
∵∠ABC=90°,∴∠ACB=∠BAC=45°.
∵∠BCD=90°,∴∠DCH=45°.
∵∠CDP=45°,∴∠DHC=90°,
∴DH=CH,AC⊥DP.
∵AB=BC=10 cm,
∴AC==20 cm.
设DH=CH=x cm,
∵DC==4 cm,
∴x2+x2=,
∴x=4或x=-4(舍去),∴CH=4 cm,
∴AH=AC-CH=20-4=16(cm),
∴DG=EF-AH=78-16=62(cm).
答:课桌挂钩顶端D到地面的距离DG为62 cm.
23.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿路线A→C→B→A运动.设点P的运动时间为t s.
(1)AC= ,当点P在AC上时,CP= (用含t的代数式
表示);
(2)如图②,若点P在∠ABC的平分线上,求t的值;
(3)在整个运动过程中,当△BCP是等腰三角形时,求t的值.
① ② 备用图
解:(1)4 4-t
(2)如图①,过点P作PD⊥AB,交AB于点D,则∠PDA=∠PDB=90°.
①
∵点P在∠ABC的平分线上,∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠PDB=90°,PD=PC.
又∵BP=BP,∴△PBD≌△PBC(HL),
∴BD=BC=3,∴AD=AB-BD=2.
由(1),知AP=t,CP=4-t,∴PD=PC=4-t.
在Rt△ADP中,AP2=PD2+AD2,∴t2=(4-t)2+22,解得t=.
(3)点P运动的总时间为(5+4+3)÷1=12(s).
当△BCP是等腰三角形时:
②
①当BC=CP,点P在AC上时,如图②,
此时4-t=3,解得t=1.
②当BC=CP,点P在AB上时,如图③,过点C作CE⊥AB,交AB于点E,
则BP=t-AC-BC=t-7=2BE.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CE,
③
即×4×3=×5CE,∴CE=,
∴BE==,∴BP=t-7=,∴t=.
③当BP=CP时,如图④,
④
由②,可知BE=,BP=t-7,CE=,
∴PE=t-7-=t-,CP=t-7.
在Rt△PEC中,CP2=PE2+CE2,
⑤
即(t-7)2=+,解得t=.
④当BC=BP时,如图⑤,
此时BP=t-7=3,解得t=10.
综上所述,当△BCP是等腰三角形时,t的值为1,,或10.
