5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 教案 2024-2025学年华师大版数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 教案 2024-2025学年华师大版数学七年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-04 21:03:33 | ||
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文档简介
5.2 解一元一次方程
1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质
1.理解等式的基本性质.
2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）
一、新课导入
[情境导入]观察图片：
思考：要让天平平衡应该满足什么条件？
二、新知探究
等式的基本性质
[课件展示]探究1 （1）对比天平与等式，你有什么发现？
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平两边保持平衡.
（2） 观察天平有什么特性？
[归纳总结]这个事实反映了等式的基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.如果a = b，那么a +c= b+c，a－c=b－c.
[课件展示]探究2 观察下图并填空.图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡.
你从上述过程中发现了等式的哪些性质 怎样用字母表示
[归纳总结]这个事实反映了等式的基本性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.如果a = b，那么ac= bc，=(c≠0).
[典型例题]例1 填空，并说明理由.
(1) 如果a+2=b+7，那么a= b + 5 ( 等式的基本性质1)；
(2) 如果 3x=9y，那么x= 3y (等式的基本性质2 )；
(3) 如果，那么3a= 2b ( 等式的基本性质2 ).
解：(1)因为 a+2 = b+7 ，根据等式的基本性质 1 ，等式两边都减去2，得a + 2 - 2 = b + 7 - 2， 即 a = b + 5.
(2)因为 3x = 9y，根据等式的基本性质2，等式两边都除以3，得，即 x = 3y.
(3)因为，根据等式的基本性质2，等式两边都乘以6，得，即 3a = 2b.
[针对练习]请在括号中写出下列等式变形的理由：
（1）如果a-3=b+4，那么a=b+7(等式的基本性质1 )；
（2）如果3x=2y，那么x=y( 等式的基本性质2 )；
（3）如果-x=-y，那么x=2y ( 等式的基本性质2 )；
（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10( 等式的基本性质1 ).
三、课堂小结
等式的性质：
基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.
四、课堂训练
1. 如果 ac = ab，那么下列等式中不一定成立的是 ( D )
A. ac-1 = ab-1 B. ac+a = ab+a
C. -3ac = -3ab D. c = b
2. 下列变形中，不正确的是( D )
A. 由 y+3 = 5，得 y = 5-3
B. 由 3y = 4y+2，得 3y-4y = 2
C. 由 y = -2y+1，得 y +2y = 1
D. 由 -y = 6y+3，得 y-6y = 3
3. 下列等式变形正确的是( C )
A. 若 x = y，则
B. 若 a = b，则 a-3 = 3-b
C. 若 2πR = 2πr，则 R = r
D. 若，则 a = c
4. 下列结论中不能由a+b=0得到的是( C )
A. a2 = -ab B. |a| = |b|
C. a = 0，b = 0 D. a2 = b2
5.判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）若a+3=b 1，则a+3=3b-3；
（2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2.
解：（1）不正确，应该是 a+9=3b-3.
（2）不正确，应该是 x-3=2y-1.
五、布置作业
本节课从了解天平入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
第2课时 方程的简单变形
1.正确理解和使用方程的变形规则.（难点）
2.能利用方程的变形规则解一元一次方程.（重点）
一、新课导入
[复习导入]等式的基本性质：
1.等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
如果a = b，那么a+c= b+c，a-c= b-c(c≠0).
2.等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.
如果a = b，那么ac= bc， = (c≠0).
二、新知探究
(一)方程的变形规则
[课件展示]由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：
1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；
2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.
根据这些规则，我们可以对方程进行适当的变形，求得方程的解.
[典型例题]例1 解下列方程：
（1）x-5=7; （2）4x=3x-4.
解:（1）x -5 = 7 ,
两边都加上5，得x =7+5 ,
即x =12.
（2）4x=3x-4 ,
两边都减去3x，得4x-3x=-4.
合并同类项，得x=-4.
思考：在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则1.
(二)移项
[课件展示]以上两个方程的变形，相当于将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.像这样的变形叫做移项.
移项要点：
(1)移项的根据是等式的基本性质1;
(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号;
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.
[针对练习]下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)5＋x＝10移项得x＝10＋5；
(2)6x＝2x＋8移项得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.
解:（1）× 改正：x＝10-5.
(2)× 改正：6x-2x＝8.
（3）√.
（4）√.
[归纳总结]1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．
2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．
(三)将未知数的系数化为1
[典型例题]例2 解下列方程：
（1）-5x=2； （2）x=.
解：(1)方程两边都除以-5，得x=- .
(2)方程两边都除以，得x=÷,即x= .
思考：在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2.
[归纳总结]这两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数.像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.
以上例1和例2解方程的过程，都是将方程进行适当的变形，得到x=a的形式.
(四)利用方程的变形规则解方程
[典型例题]例3 解下列方程：
(1) 8x=2x-7； (2) 6=8+2x； (3) 2y-=y-3.
解： (1)移项,得8x-2x=-7.
合并同类项，得6x=-7.
将未知数的系数化为1，得x=-.
(2)原方程即8+2x=6.
移项,得2x=-2.
将未知数的系数化为1，得x=-1.
（3）移项，得.
合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得.
例4 解方程: 5x-5=8x-2x-2.
解：移项，得5x-8x+2x=-2+5.
合并同类项，得-x=3.
将未知数的系数化为1，得x=-3.
方法总结 解较简单的方程的一般步骤：①移项；②合并同类项；③将未知数的系数化为1.
三、课堂小结
利用方程的变形解简单的方程：
1.方程的变形规则.
2.移项.
3.将未知数的系数化为1 .
4.利用方程的变形规则解方程.
四、课堂训练
1.下列方程变形中，正确的是（ C ）
A.由4+x=5，得x=5+4 B.由x-1=-2，得x=-2-1
C.由2x=3x-5，得3x-2x=5 D.由4-3x=0，得-3x=4
2. 方程3x-1 = 5的解是 ( D )
A. B.
C. x = 18 D. x = 2
3. 若关于x的方程 2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为( D )
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
4.将x的系数化为1，下列变形正确的是（ D ）
A.由x=3，得x= B.由3x=1，得x=3
C.由0.2x=3，得x= D.由x=4，得x=3
5.解下列方程：
（1）；
（2）.
解：（1）移项，得3x-x+3x=12-6-3-2,
合并同类项，得5x=1,
将未知数的系数化为1，得x=．
（2）移项，得x x=+,
合并同类项，得-x=1,
将未知数的系数化为1，得x=-3．
五、布置作业
教学过程中，应引导学生利用等式的两个基本性质归纳方程的变形规则.由方程变形规则归纳出移项法则，感悟归纳过程中的转化思想.利用方程的变形规则解决简单的方程和实际问题，体会并掌握方程解法的一般步骤，为后面解一元一次方程打下基础.
1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质
1.理解等式的基本性质.
2.能利用等式性质对等式进行变形.（重点、难点）
一、新课导入
[情境导入]观察图片：
思考：要让天平平衡应该满足什么条件？
二、新知探究
等式的基本性质
[课件展示]探究1 （1）对比天平与等式，你有什么发现？
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平两边保持平衡.
（2） 观察天平有什么特性？
[归纳总结]这个事实反映了等式的基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.如果a = b，那么a +c= b+c，a－c=b－c.
[课件展示]探究2 观察下图并填空.图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡.
你从上述过程中发现了等式的哪些性质 怎样用字母表示
[归纳总结]这个事实反映了等式的基本性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.如果a = b，那么ac= bc，=(c≠0).
[典型例题]例1 填空，并说明理由.
(1) 如果a+2=b+7，那么a= b + 5 ( 等式的基本性质1)；
(2) 如果 3x=9y，那么x= 3y (等式的基本性质2 )；
(3) 如果，那么3a= 2b ( 等式的基本性质2 ).
解：(1)因为 a+2 = b+7 ，根据等式的基本性质 1 ，等式两边都减去2，得a + 2 - 2 = b + 7 - 2， 即 a = b + 5.
(2)因为 3x = 9y，根据等式的基本性质2，等式两边都除以3，得，即 x = 3y.
(3)因为，根据等式的基本性质2，等式两边都乘以6，得，即 3a = 2b.
[针对练习]请在括号中写出下列等式变形的理由：
（1）如果a-3=b+4，那么a=b+7(等式的基本性质1 )；
（2）如果3x=2y，那么x=y( 等式的基本性质2 )；
（3）如果-x=-y，那么x=2y ( 等式的基本性质2 )；
（4）如果2a+3=3b-1，那么2a-6=3b-10( 等式的基本性质1 ).
三、课堂小结
等式的性质：
基本性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
基本性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.
四、课堂训练
1. 如果 ac = ab，那么下列等式中不一定成立的是 ( D )
A. ac-1 = ab-1 B. ac+a = ab+a
C. -3ac = -3ab D. c = b
2. 下列变形中，不正确的是( D )
A. 由 y+3 = 5，得 y = 5-3
B. 由 3y = 4y+2，得 3y-4y = 2
C. 由 y = -2y+1，得 y +2y = 1
D. 由 -y = 6y+3，得 y-6y = 3
3. 下列等式变形正确的是( C )
A. 若 x = y，则
B. 若 a = b，则 a-3 = 3-b
C. 若 2πR = 2πr，则 R = r
D. 若，则 a = c
4. 下列结论中不能由a+b=0得到的是( C )
A. a2 = -ab B. |a| = |b|
C. a = 0，b = 0 D. a2 = b2
5.判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
（1）若a+3=b 1，则a+3=3b-3；
（2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2.
解：（1）不正确，应该是 a+9=3b-3.
（2）不正确，应该是 x-3=2y-1.
五、布置作业
本节课从了解天平入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
第2课时 方程的简单变形
1.正确理解和使用方程的变形规则.（难点）
2.能利用方程的变形规则解一元一次方程.（重点）
一、新课导入
[复习导入]等式的基本性质：
1.等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
如果a = b，那么a+c= b+c，a-c= b-c(c≠0).
2.等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.
如果a = b，那么ac= bc， = (c≠0).
二、新知探究
(一)方程的变形规则
[课件展示]由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：
1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；
2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.
根据这些规则，我们可以对方程进行适当的变形，求得方程的解.
[典型例题]例1 解下列方程：
（1）x-5=7; （2）4x=3x-4.
解:（1）x -5 = 7 ,
两边都加上5，得x =7+5 ,
即x =12.
（2）4x=3x-4 ,
两边都减去3x，得4x-3x=-4.
合并同类项，得x=-4.
思考：在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则1.
(二)移项
[课件展示]以上两个方程的变形，相当于将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.像这样的变形叫做移项.
移项要点：
(1)移项的根据是等式的基本性质1;
(2)移项要变号，没有移动的项不改变符号;
(3)通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边.
[针对练习]下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)5＋x＝10移项得x＝10＋5；
(2)6x＝2x＋8移项得 6x＋2x ＝8；
(3)5－2x＝4－3x移项得3x－2x＝4－5；
(4)－2x＋7＝1－8x移项得－2x＋8x＝1－7.
解:（1）× 改正：x＝10-5.
(2)× 改正：6x-2x＝8.
（3）√.
（4）√.
[归纳总结]1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从2＋5x＝7得到5x＝7＋2是不对的．
2.没移项时不要误认为移项，如从－8＝x得到x＝8，犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．
(三)将未知数的系数化为1
[典型例题]例2 解下列方程：
（1）-5x=2； （2）x=.
解：(1)方程两边都除以-5，得x=- .
(2)方程两边都除以，得x=÷,即x= .
思考：在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2.
[归纳总结]这两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数.像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.
以上例1和例2解方程的过程，都是将方程进行适当的变形，得到x=a的形式.
(四)利用方程的变形规则解方程
[典型例题]例3 解下列方程：
(1) 8x=2x-7； (2) 6=8+2x； (3) 2y-=y-3.
解： (1)移项,得8x-2x=-7.
合并同类项，得6x=-7.
将未知数的系数化为1，得x=-.
(2)原方程即8+2x=6.
移项,得2x=-2.
将未知数的系数化为1，得x=-1.
（3）移项，得.
合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得.
例4 解方程: 5x-5=8x-2x-2.
解：移项，得5x-8x+2x=-2+5.
合并同类项，得-x=3.
将未知数的系数化为1，得x=-3.
方法总结 解较简单的方程的一般步骤：①移项；②合并同类项；③将未知数的系数化为1.
三、课堂小结
利用方程的变形解简单的方程：
1.方程的变形规则.
2.移项.
3.将未知数的系数化为1 .
4.利用方程的变形规则解方程.
四、课堂训练
1.下列方程变形中，正确的是（ C ）
A.由4+x=5，得x=5+4 B.由x-1=-2，得x=-2-1
C.由2x=3x-5，得3x-2x=5 D.由4-3x=0，得-3x=4
2. 方程3x-1 = 5的解是 ( D )
A. B.
C. x = 18 D. x = 2
3. 若关于x的方程 2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为( D )
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
4.将x的系数化为1，下列变形正确的是（ D ）
A.由x=3，得x= B.由3x=1，得x=3
C.由0.2x=3，得x= D.由x=4，得x=3
5.解下列方程：
（1）；
（2）.
解：（1）移项，得3x-x+3x=12-6-3-2,
合并同类项，得5x=1,
将未知数的系数化为1，得x=．
（2）移项，得x x=+,
合并同类项，得-x=1,
将未知数的系数化为1，得x=-3．
五、布置作业
教学过程中，应引导学生利用等式的两个基本性质归纳方程的变形规则.由方程变形规则归纳出移项法则，感悟归纳过程中的转化思想.利用方程的变形规则解决简单的方程和实际问题，体会并掌握方程解法的一般步骤，为后面解一元一次方程打下基础.