5.2.2解一元一次方程 教案 2024-2025学年华师大版数学七年级下册

2　解一元一次方程
第1课时　解含括号的一元一次方程
1.理解一元一次方程的定义及特点.（重点）
2.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
3.准确而熟练地运用去括号法则解含括号的一元一次方程.（重点、难点）
一、新课导入
[复习导入]观察这两个方程有什么共同特点
二、新知探究
(一)一元一次方程的定义
[课件展示]问题1 观察下边两个方程有什么共同特点
我们发现，这两个方程都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数都是1.
[归纳总结]一元一次方程的定义:只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.
注意：
（1）一元一次方程有如下特点：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式.
（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a≠0).
（3）一元一次方程的标准形式为：ax+b=0（其中x是未知数，a，b是已知数，并且a≠0）.
[针对练习]下列哪些是一元一次方程？
（1）2x+1； （2）2m+15=3；
（3）3x-5=5x+4； （4）x2+2x-6=0；
（5）-3x+1.8=3y； （6）3a+9＞15；
（7）.
解:（2）（3）是一元一次方程.
(二)去括号解方程
[课件展示]问题2 利用乘法分配律计算下列各式：
(1) 2(x+8) = 2x+16 ；
(2) -3(3x+4) = -9x-12 ；
(3) -7(7y-5) = -49y+35 .
问题3 去括号:
(1)a+(-b+c)= a-b+c ；
(2)(a-b)-(c+d)= a-b-c-d ；
(3)-(-a+b)-c= a-b-c ；
(4)-(2x-y )-(-x2+y2)= -2x+y+x2-y2 .
[归纳总结]去括号法则：
去掉“+( )”，括号内各项的符号不变；
去掉“–( )”，括号内各项的符号改变.
用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律:
a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b-c.
[典型例题]例1 解方程：3(x－2)+1=x-(2x－1).
解：原方程的两边分别去括号，得3x-6+1=x-2x+1，
即3x－5=－x+1.
移项，得3x+x=1+5，
即4x=6.
两边都除以4，得
例2 解下列方程：
(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1); (2)3x-7(x-1)=3-2(x+3).
解：(1)去括号，得2x-x-10=5x+2x-2.
移项，得2x-x-5x-2x=-2+10.
合并同类项，得-6x=8.
系数化为1，得x=-.
(2)去括号，得3x-7x+7=3-2x-6.
移项，得3x-7x+2x=3-6-7.
合并同类项，得-2x=-10.
系数化为1，得x=5.
思考：通过以上解方程的过程，你能总结出解含括号的一元一次方程的一般步骤吗？
1.去括号；2.移项；3.合并同类项；4.系数化为1.
[针对练习]解下列方程：
(1)6x＝-2(3x-5)＋10； (2)-2(x＋5)=3(x-5)-6.
解：(1)去括号，得6x＝－6x＋10＋10.
移项,得6x+6x＝10＋10.
合并同类项，得12x＝20.
将未知数的系数化为1，得.
(2)去括号，得－2x－10＝3x－15－6.
移项,得－2x－3x＝－15－6＋10.
合并同类项，得－5x＝－11.
将未知数的系数化为1，得
三、课堂小结
1.一元一次方程的定义：
只含有一个未知数、左右两边都是整式,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.
2.解一元一次方程的步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
3.如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项都要改变符号.
四、课堂训练
1.对于方程2(2x－1)－(x－3)=1去括号正确的是( D )
A.4x－1－x－3=1 B.4x－1－x+3=1
C.4x－2－x－3=1 D.4x－2－x+3=1
2.若关于x的方程3x+(2a+1)=x－(3a+2)的解为x=0，则a的值等于( D )
A. B. C. - D. -
3.解下列方程：
(1) 3x-5(x-3)=9-(x+4)；
(2)2x-(x-10)=5x+2(x-1)；
(3)4(2x+3)=8(1-x)-5(x-2)；
(4)3(x-1)-2(x+10)=-6.
解：（1）x＝10.（2）x=2.（3）x=.（4）x=17．
五、布置作业
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识，复习巩固方程的解法，让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的，后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成．然后通过一个实际问题，列出一个有括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索新的解题方法．第2课时　解含分母的一元一次方程
1.掌握含有分母的一元一次方程的解法.（重点）
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点）
一、新课导入
[情境导入]英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.
问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？
分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便？请你列出本题的方程.
用方程方法解方便.设这个数是x，则可列方程： .
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.
总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，就可以使方程的计算更简便些.
二、新知探究
知识点：解含分母的一元一次方程
[课件展示]探究1 解方程：
想一想：1.若使方程的系数变成整数系数方程，方程的两边应该同乘以什么数
2.去分母时要注意什么问题
注意：(1)为什么同乘以各分母的最小公倍数10；(2)小心漏乘，记得添括号.
[典型例题]例1 解方程：-=1.
分析：这个方程中的系数出现了分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数（这里是都乘以6），去掉方程中的分母．像这样的变形通常称为“去分母”.
解：去分母，得3（x-3）-2(2x+1)=6.
去括号，得3x-9-4x-2=6.
移项，得3x-4x=6+2+9.
合并同类项，得-x=17.
系数化为1，得x=-17.
注意：去分母时，分子是多项式时要把分子看作一个整体.
[针对练习]解下列方程：
（1）-1=2+；
解:去分母(方程两边同乘以4)，得
2（x+1）-4=8+（2-x）.
去括号，得2x+2-4=8+2-x.
移项，得2x+x=8+2+4-2.
合并同类项，得3x=12.
系数化为1，得x=4.
（2）3x+=3-.
解:去分母(方程两边同乘以6)，得
18x+3（x-1）=18-2（2x-1）.
去括号，得18x+3x-3=18-4x+2.
移项，得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项，得25x=23.
系数化为1，得x=.
[归纳总结]通过以上解方程的过程，你能总结出解含分母的一元一次方程通常有哪些步骤吗？
1.去分母；
2.去括号；
3.移项；
4.合并同类项；
5.系数化为1.
[课件展示]探究2 下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗
解方程：.
解：去分母，得4x－1－3x+6 = 1.
移项、合并同类项，得x = 4.
解：不对.约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错；约去分母2后，-(x+2)×3在去括号时符号错误；方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6.
[归纳总结]1.去分母时，应在方程的左右两边都乘以分母的最小公倍数；
去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；
3. 去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.
三、课堂小结
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母：方程两边同乘以所有分母的最小公倍数（依据是等式的基本性质2）；
（2）去括号：先去小括号,再去中括号,最后去大括号（依据是去括号法则和乘法分配律）；
（3）移项：把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边，“移项变号”（依据是等式的基本性质1）；
（4）合并同类项：将未知数的系数相加，常数项相加（依据是乘法分配律）；
（5）系数化为1:在方程的两边除以未知数的系数（依据是等式的基本性质2）.
四、课堂训练
1.方程3 = 去分母正确的是（ C ）
A.3 2(5x+ 7) = (x+17)
B.12 2(5x+ 7)= x+17
C.12 2(5x+ 7) = (x +17)
D.12 10x +14 = (x+17)
2.方程 x=+1去分母得（ D ）
A.3(2x +3) x = 2(9x+ 5)+ 6
B.3(2x+ 3) 6x = 2(9x + 5) + 1
C.3(2x+ 3) x = 9x+ 5+ 6
D.3(2x+ 3) 6x = 2(9x+ 5)+ 6
3.解下列方程：
解：.
五、布置作业
本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便．在解方程去分母的过程中，发现学生还存在以下问题：①部分学生不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当分子是多项式时，要把分子作为一个整体加上括号后去分母，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号；④去括号、移项时要注意符号的变化．