5.3 实践与探索 教学设计
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5.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
一、新课导入
[情境导入]
如图，从一个水杯向另一个水杯倒水：
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
二、新知探究
（一）平面图形的形状变化
[课件展示]问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变.
分析：等量关系：（长+宽）×2=周长.
解:设此时长方形的长为xcm，则它的宽为xcm.
根据题意，得(x+x)×2=60.
解得x=18.所以x=12.
此时长方形的长为18cm、宽为12cm.
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积.
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.
根据题意，得(x+x-4)×2=60.
解得x=17.所以17-4=13(cm).
∴此时长方形的长为17cm、宽为13cm，面积为17×13=221(cm2).
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，你还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)中长方形的面积为18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.
同理，我们可计算当宽比长少2cm时，S=224cm2；
当宽比长少1cm时，S=224.75cm2；
当宽与长相等时，S=225cm2；
∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：长方形的长与宽相差越小，长方形的面积越大；当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
讨论：每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？若不能，该怎么办？
在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数.小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算.
[典型例题]例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析：比较两个图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为：正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
[归纳总结](1)两个图形的形状、面积不同，但周长相同；
两个图形的形状、面积不同，但是根据题意可以找出它们的周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．
解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列出方程．
（二）立体图形的形状变化
[课件展示]问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
2.根据表格中的分析，找出等量关系；
旧水箱的容积=新水箱的容积.
3.列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62x.
解得x=6.25.
因此，水箱的高度变成了6.25m.
[典型例题]例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意，得
解这个方程，得x＝25.
经检验，符合题意.
答：这一支牙膏能用25次．
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
6.答——注意单位名称.
三、课堂小结
1.应用一元一次方程解决形积问题:
（1）平面图形的形状变化;
（2）立体图形的形状变化.
2.应用一元一次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答.
四、课堂训练
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A. 6 cm B. 7 cm
C. 8 cm D. 9 cm
2.一个梯形的面积是60 cm2、高为5 cm，它的上底比下底短2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为x cm，则下面所列方程正确的是( C )
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
A.π×42x=π×32×(x+5)
B.π×42x=π×32×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x+5)
D.π×82x=π×62×(x-5)
4.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢__16___厘米.
5.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
解：设应截取这种钢锭x厘米.
根据题意，得20×20x=40×30×10.
解这个方程，得x=30.
答：应截取这种钢锭30厘米.
五、布置作业
教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
第2课时 和、差、倍、分问题及商品销售问题
1.掌握用一元一次方程解决和、差、倍、分问题.（重点）
2.掌握商品销售问题中的相关概念及数量关系.（重点）
3.掌握解决商品销售问题的一般思路.（难点）
一、新课导入
[复习导入]
列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
6.答——注意单位名称.
二、新知探究
（一）和、差、倍、分问题
[典型例题]例1 希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
又度过了一生的七分之一，他结了婚；
再过五年，他有了孩子，感到很幸福；
可是孩子只活到了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”
（1）求：丢番图的寿命；
（2）求：丢番图开始当爸爸时的年龄．
分析：（1）设丢番图的寿命是x岁，则孩子的寿命是x岁，根据希腊数学家丢番图墓碑上的记载，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用丢番图开始当爸爸时的年龄=×丢番图的寿命+×丢番图的寿命+×丢番图的寿命+5，即可求出结论．
解：（1）设丢番图的寿命是x岁，则孩子的寿命是x岁，
根据题意，得x+x+x+5+x+4=x.
解得x=84．
答：丢番图的寿命是84岁．
根据题意，得
×84+×84+×84+5=14+7+12+5=38（岁）．
答：丢番图开始当爸爸时的年龄是38岁．
[典型例题]例2 有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？
分析：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个，根据如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个.
根据题意,得8x=6x+3+5.
解得x=4.
可得6x+3=24+3=27（个）．
答：原有27个鸽子，4个鸽笼．
[归纳总结]和、差、倍、分问题：
①基本量及关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量；
②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增长率等．
（二）销售利润问题
[课件展示]填空：
1. 进价为100 元的商品提价 40% 后，标价为___140__元，若按标价的八折销售，则售价为__112___元，此商品的利润为___12___元，利润率是__12％___；
2. 某商品原价是 a 元，现在每件打九折销售，则此时的售价是 0.9a 元；
3. 一件商品打 x 折出售，就是用原价乘以 .
思考1：上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量
成本价(进价);标价;利润;盈利;亏损;利润率.
思考2：上面这些量有何关系
[归纳总结]销售中的盈亏：
1.售价、进价、利润的关系式：商品利润= 商品售价-商品进价.
2.进价、利润、利润率的关系：利润率=×100%.
3.标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×.
4.商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×(1+利润率).
[典型例题]例3 一件服装先将进价提高25%标价，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
分析：设这件衣服的进价是x元.则有以下等量关系：
（1）标价=进价×（1+利润率）；
（2）促销时的售价=标价×，根据等量关系列出方程求解.
解：设这件衣服的进价是x元，
则标价是(1＋25%)x元，促销时的售价是(1＋25%)x×0.8 元.
依题意，得(1＋25%)x×0.8＝60. 解得x＝60.
因为售价60=成本60，
答：这家商店不盈不亏.
[典型例题]例4 某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元.
（1）若按标价的六折销售，则实际售价是多少？
（2）在（1）的条件下销售这种服装仍可获利20%，问这种服装每件的进价为多少元？
分析：（1）根据售价=标价×，列式计算；
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据等量关系：售价=标价×=进价×（1+利润率）列方程.
解：（1）实际售价是400×=240（元）.
答：实际售价是240元.
（2）设这种服装每件的进价为a元.
根据题意，得（1+20%）a=400×0.6.
解得a=200.
经检验，符合题意.
答：这种服装每件的进价为200元.
[针对训练]
1.某商品在原价的基础上提高 25% 标价，若想调回原价，应降价的百分率为 20% .
2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2021年涨价30%后，2023年降价70%至a元，则这种药品在2021年涨价前价格为 元.
三、课堂小结
1.和、差、倍、分问题：
①基本量及关系：增长量=原有量×增长率，
现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量；
②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增长率等．
2.商品销售问题：
商品利润= 商品售价-商品进价；
利润率=×100%；
商品售价＝标价×；
商品售价=商品进价×(1+利润率).
四、课堂训练
1.通常情况下，体积相等的冰和水，冰的质量比水的质量少，现有一块9千克的冰，如果一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水重（ A ）
A．10千克 B．9千克
C．109千克 D．9.9千克
2.某种商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元.此种商品的进价为___125___元.
3.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利20%, 则该商品的标价为 2970 元.
4.某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人,第二组25人.现第一组发现人手不够,需第二组支援,问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍 设抽调x人,则可列方程( D )
A.20=2(25-x)
C.2(20+x)=25-x
B.20+x=2×25
D.20+x=2(25-x)
5.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
解：①设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意，得 （1＋0.25）x＝60.
解得x＝48.
②设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意，得（1-0.25）y＝60.
解得y＝80.
两件衣服的总成本：48＋80＝128(元).
因为120－128＝－8(元)，
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
答：卖这两件衣服共亏损了8元.
五、布置作业
本节课从生活中的实际问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣．根据题目中的数量关系列一元一次方程解决与和、差、倍、分、打折销售有关的实际问题．审清题意，找出等量关系是解决问题的关键．
第3课时 工程问题及行程问题
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型.（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）
一、新课导入
[复习导入]
1.行程问题中的基本数量关系是什么
路程＝速度×时间; 速度= ; 时间= .
2．（1）一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
（2）一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
（3）工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系
（1）；（2）；（3）工作量＝工作效率×工作时间、工作效率=、工作时间=.
二、新知探究
（一）工程问题
[课件展示]问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天.
（1）两人合作需几天完成？
（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？
（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法.
提示：工作量之和等于总工作量1.
解：（1）设两人合作完成需要x天.列表分析：
可列方程x+x=1.
解得x=2.4.
答：两人合作完成需要2.4天.
（2）设还需y天完成.列表分析：
可列方程(y+2)+y=1.
解得y=1.2.
答：还需1.2天完成.
（3）设完成这项工作总共用了z天.列表分析：
可列方程(z 1)+z=1.
解得z=3.
徒弟完成工作量的×3=，
师傅完成工作量的×(3 1)=.
答：徒弟与师傅平分报酬，每人分得900×=450（元）.
[归纳总结]解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=.
2.相等关系：
(1)按工作时间：各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者：若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
[针对训练]1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为,乙的工作效率为,根据工作效率×工作时间=工作量，列方程求解.
解：设要x天可以铺好这条管线.
由题意,得.
解方程，得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
（二）行程问题
相遇问题
[课件展示]问题2 小明家与乐乐家相距20km，小明从家里出发骑自行车去乐乐家，两人商定乐乐到时候从家里出发骑自行车去接小明.已知小明骑车的速度为13km/h，乐乐骑车的速度是12km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
（2）如果小明先走30min，那么乐乐骑车要走多少小时才能与小明相遇？
分析：由于小明与乐乐都从家里出发，相向而行，所以（1）如果两人同时出发，如图1，相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明走的路程+乐乐走的路程=两家之间的距离(20km).
（2）如果小明先走30min，如图2，相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明先走的路程+乐乐出发后小明走的路程+乐乐走的路程=两家之间的距离(20km).
解：（1）设他们经过xh相遇.
则根据题意，得13x+12x=20.
解得x=0.8.
答：经过0.8h他们两人相遇.
（2）设乐乐骑车走了th后与小明相遇.
则根据题意，得13(0.5+t)+12t=20.
解得t=0.54.
答：乐乐骑车走0.54h后与小明相遇.
[归纳总结]相遇问题：
1.路程＝速度×时间.
2.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离.
注意相向而行的始发时间和地点.
追及问题
[课件展示]问题3 小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．问：爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走的路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示如下.
根据题意，得80×5＋80x=180x.
解得x=4.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
[归纳总结]追及问题：
1.路程＝速度×时间.
2.s快-s慢=s原来距离.
注意同向而行的始发时间和地点.
[针对训练]
2.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知A、B两地的距离为480km，且甲车以65km/h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车的行驶速度是多少？
解：设乙车的行驶速度是xkm/h.
则根据题意，得4(65+x)=480.
解得x=55.
答：乙车的行驶速度是55km/h.
3.一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以6km/h的速度追赶，问甲用多长时间就可追上队伍？
解：设甲用xh就可追上队伍.
则根据题意，得6x=4(x+).
解得x=55.
55min=h.
答：甲用h就可追上队伍.
三、课堂小结
利用一元一次方程解决实际问题：
1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
2.行程问题：
（1）路程＝速度×时间.
（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离.
（3）追及问题：s快-s慢=s原来距离.
四、课堂训练
1.甲每小时走 5 千米，甲出发 1 小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了45 分钟追上甲，设乙骑车的速度为 x 千米/时，则所列方程为( B )
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A、B两地相向而行，2小时后相遇，如果甲每小时比乙多行5千米，则乙每小时行( B )
A．30千米 B．40千米
C．50千米 D．45千米
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了( A )
A．40秒 B．50秒
C．60秒 D．70秒
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为_______.
5.生产的一批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作做4h？
解：设应先安排x人做4h.
则根据题意，得×4x+×8(x+2)=1.
解得x=2.
答：应先安排2人做4h.
五、布置作业
本节课从生活中的实际问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣，感受数学与人类生活的密切联系.为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．
第1课时 等积变形问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
一、新课导入
[情境导入]
如图，从一个水杯向另一个水杯倒水：
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
二、新知探究
（一）平面图形的形状变化
[课件展示]问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变.
分析：等量关系：（长+宽）×2=周长.
解:设此时长方形的长为xcm，则它的宽为xcm.
根据题意，得(x+x)×2=60.
解得x=18.所以x=12.
此时长方形的长为18cm、宽为12cm.
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积.
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.
根据题意，得(x+x-4)×2=60.
解得x=17.所以17-4=13(cm).
∴此时长方形的长为17cm、宽为13cm，面积为17×13=221(cm2).
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，你还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)中长方形的面积为18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.
同理，我们可计算当宽比长少2cm时，S=224cm2；
当宽比长少1cm时，S=224.75cm2；
当宽与长相等时，S=225cm2；
∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：长方形的长与宽相差越小，长方形的面积越大；当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
讨论：每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？若不能，该怎么办？
在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数.小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算.
[典型例题]例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析：比较两个图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为：正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
[归纳总结](1)两个图形的形状、面积不同，但周长相同；
两个图形的形状、面积不同，但是根据题意可以找出它们的周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．
解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列出方程．
（二）立体图形的形状变化
[课件展示]问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
2.根据表格中的分析，找出等量关系；
旧水箱的容积=新水箱的容积.
3.列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62x.
解得x=6.25.
因此，水箱的高度变成了6.25m.
[典型例题]例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意，得
解这个方程，得x＝25.
经检验，符合题意.
答：这一支牙膏能用25次．
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
6.答——注意单位名称.
三、课堂小结
1.应用一元一次方程解决形积问题:
（1）平面图形的形状变化;
（2）立体图形的形状变化.
2.应用一元一次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答.
四、课堂训练
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A. 6 cm B. 7 cm
C. 8 cm D. 9 cm
2.一个梯形的面积是60 cm2、高为5 cm，它的上底比下底短2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为x cm，则下面所列方程正确的是( C )
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是( A )
A.π×42x=π×32×(x+5)
B.π×42x=π×32×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x+5)
D.π×82x=π×62×(x-5)
4.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢__16___厘米.
5.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
解：设应截取这种钢锭x厘米.
根据题意，得20×20x=40×30×10.
解这个方程，得x=30.
答：应截取这种钢锭30厘米.
五、布置作业
教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
第2课时 和、差、倍、分问题及商品销售问题
1.掌握用一元一次方程解决和、差、倍、分问题.（重点）
2.掌握商品销售问题中的相关概念及数量关系.（重点）
3.掌握解决商品销售问题的一般思路.（难点）
一、新课导入
[复习导入]
列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
6.答——注意单位名称.
二、新知探究
（一）和、差、倍、分问题
[典型例题]例1 希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
又度过了一生的七分之一，他结了婚；
再过五年，他有了孩子，感到很幸福；
可是孩子只活到了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”
（1）求：丢番图的寿命；
（2）求：丢番图开始当爸爸时的年龄．
分析：（1）设丢番图的寿命是x岁，则孩子的寿命是x岁，根据希腊数学家丢番图墓碑上的记载，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用丢番图开始当爸爸时的年龄=×丢番图的寿命+×丢番图的寿命+×丢番图的寿命+5，即可求出结论．
解：（1）设丢番图的寿命是x岁，则孩子的寿命是x岁，
根据题意，得x+x+x+5+x+4=x.
解得x=84．
答：丢番图的寿命是84岁．
根据题意，得
×84+×84+×84+5=14+7+12+5=38（岁）．
答：丢番图开始当爸爸时的年龄是38岁．
[典型例题]例2 有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？
分析：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个，根据如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个.
根据题意,得8x=6x+3+5.
解得x=4.
可得6x+3=24+3=27（个）．
答：原有27个鸽子，4个鸽笼．
[归纳总结]和、差、倍、分问题：
①基本量及关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量；
②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增长率等．
（二）销售利润问题
[课件展示]填空：
1. 进价为100 元的商品提价 40% 后，标价为___140__元，若按标价的八折销售，则售价为__112___元，此商品的利润为___12___元，利润率是__12％___；
2. 某商品原价是 a 元，现在每件打九折销售，则此时的售价是 0.9a 元；
3. 一件商品打 x 折出售，就是用原价乘以 .
思考1：上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量
成本价(进价);标价;利润;盈利;亏损;利润率.
思考2：上面这些量有何关系
[归纳总结]销售中的盈亏：
1.售价、进价、利润的关系式：商品利润= 商品售价-商品进价.
2.进价、利润、利润率的关系：利润率=×100%.
3.标价、折扣数、商品售价关系：商品售价＝标价×.
4.商品售价、进价、利润率的关系：商品售价=商品进价×(1+利润率).
[典型例题]例3 一件服装先将进价提高25%标价，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
分析：设这件衣服的进价是x元.则有以下等量关系：
（1）标价=进价×（1+利润率）；
（2）促销时的售价=标价×，根据等量关系列出方程求解.
解：设这件衣服的进价是x元，
则标价是(1＋25%)x元，促销时的售价是(1＋25%)x×0.8 元.
依题意，得(1＋25%)x×0.8＝60. 解得x＝60.
因为售价60=成本60，
答：这家商店不盈不亏.
[典型例题]例4 某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元.
（1）若按标价的六折销售，则实际售价是多少？
（2）在（1）的条件下销售这种服装仍可获利20%，问这种服装每件的进价为多少元？
分析：（1）根据售价=标价×，列式计算；
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据等量关系：售价=标价×=进价×（1+利润率）列方程.
解：（1）实际售价是400×=240（元）.
答：实际售价是240元.
（2）设这种服装每件的进价为a元.
根据题意，得（1+20%）a=400×0.6.
解得a=200.
经检验，符合题意.
答：这种服装每件的进价为200元.
[针对训练]
1.某商品在原价的基础上提高 25% 标价，若想调回原价，应降价的百分率为 20% .
2.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2021年涨价30%后，2023年降价70%至a元，则这种药品在2021年涨价前价格为 元.
三、课堂小结
1.和、差、倍、分问题：
①基本量及关系：增长量=原有量×增长率，
现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量；
②寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍、增长率等．
2.商品销售问题：
商品利润= 商品售价-商品进价；
利润率=×100%；
商品售价＝标价×；
商品售价=商品进价×(1+利润率).
四、课堂训练
1.通常情况下，体积相等的冰和水，冰的质量比水的质量少，现有一块9千克的冰，如果一桶水的体积和这块冰的体积相等，这桶水重（ A ）
A．10千克 B．9千克
C．109千克 D．9.9千克
2.某种商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元.此种商品的进价为___125___元.
3.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利20%, 则该商品的标价为 2970 元.
4.某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人,第二组25人.现第一组发现人手不够,需第二组支援,问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍 设抽调x人,则可列方程( D )
A.20=2(25-x)
C.2(20+x)=25-x
B.20+x=2×25
D.20+x=2(25-x)
5.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
解：①设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意，得 （1＋0.25）x＝60.
解得x＝48.
②设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意，得（1-0.25）y＝60.
解得y＝80.
两件衣服的总成本：48＋80＝128(元).
因为120－128＝－8(元)，
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
答：卖这两件衣服共亏损了8元.
五、布置作业
本节课从生活中的实际问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣．根据题目中的数量关系列一元一次方程解决与和、差、倍、分、打折销售有关的实际问题．审清题意，找出等量关系是解决问题的关键．
第3课时 工程问题及行程问题
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型.（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）
一、新课导入
[复习导入]
1.行程问题中的基本数量关系是什么
路程＝速度×时间; 速度= ; 时间= .
2．（1）一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
（2）一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
（3）工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系
（1）；（2）；（3）工作量＝工作效率×工作时间、工作效率=、工作时间=.
二、新知探究
（一）工程问题
[课件展示]问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天.
（1）两人合作需几天完成？
（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？
（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法.
提示：工作量之和等于总工作量1.
解：（1）设两人合作完成需要x天.列表分析：
可列方程x+x=1.
解得x=2.4.
答：两人合作完成需要2.4天.
（2）设还需y天完成.列表分析：
可列方程(y+2)+y=1.
解得y=1.2.
答：还需1.2天完成.
（3）设完成这项工作总共用了z天.列表分析：
可列方程(z 1)+z=1.
解得z=3.
徒弟完成工作量的×3=，
师傅完成工作量的×(3 1)=.
答：徒弟与师傅平分报酬，每人分得900×=450（元）.
[归纳总结]解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=.
2.相等关系：
(1)按工作时间：各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者：若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
[针对训练]1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析：把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为,乙的工作效率为,根据工作效率×工作时间=工作量，列方程求解.
解：设要x天可以铺好这条管线.
由题意,得.
解方程，得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
（二）行程问题
相遇问题
[课件展示]问题2 小明家与乐乐家相距20km，小明从家里出发骑自行车去乐乐家，两人商定乐乐到时候从家里出发骑自行车去接小明.已知小明骑车的速度为13km/h，乐乐骑车的速度是12km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
（2）如果小明先走30min，那么乐乐骑车要走多少小时才能与小明相遇？
分析：由于小明与乐乐都从家里出发，相向而行，所以（1）如果两人同时出发，如图1，相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明走的路程+乐乐走的路程=两家之间的距离(20km).
（2）如果小明先走30min，如图2，相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即小明先走的路程+乐乐出发后小明走的路程+乐乐走的路程=两家之间的距离(20km).
解：（1）设他们经过xh相遇.
则根据题意，得13x+12x=20.
解得x=0.8.
答：经过0.8h他们两人相遇.
（2）设乐乐骑车走了th后与小明相遇.
则根据题意，得13(0.5+t)+12t=20.
解得t=0.54.
答：乐乐骑车走0.54h后与小明相遇.
[归纳总结]相遇问题：
1.路程＝速度×时间.
2.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离.
注意相向而行的始发时间和地点.
追及问题
[课件展示]问题3 小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．问：爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走的路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示如下.
根据题意，得80×5＋80x=180x.
解得x=4.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
[归纳总结]追及问题：
1.路程＝速度×时间.
2.s快-s慢=s原来距离.
注意同向而行的始发时间和地点.
[针对训练]
2.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知A、B两地的距离为480km，且甲车以65km/h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车的行驶速度是多少？
解：设乙车的行驶速度是xkm/h.
则根据题意，得4(65+x)=480.
解得x=55.
答：乙车的行驶速度是55km/h.
3.一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以6km/h的速度追赶，问甲用多长时间就可追上队伍？
解：设甲用xh就可追上队伍.
则根据题意，得6x=4(x+).
解得x=55.
55min=h.
答：甲用h就可追上队伍.
三、课堂小结
利用一元一次方程解决实际问题：
1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
2.行程问题：
（1）路程＝速度×时间.
（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离.
（3）追及问题：s快-s慢=s原来距离.
四、课堂训练
1.甲每小时走 5 千米，甲出发 1 小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了45 分钟追上甲，设乙骑车的速度为 x 千米/时，则所列方程为( B )
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A、B两地相向而行，2小时后相遇，如果甲每小时比乙多行5千米，则乙每小时行( B )
A．30千米 B．40千米
C．50千米 D．45千米
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了( A )
A．40秒 B．50秒
C．60秒 D．70秒
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为_______.
5.生产的一批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作做4h？
解：设应先安排x人做4h.
则根据题意，得×4x+×8(x+2)=1.
解得x=2.
答：应先安排2人做4h.
五、布置作业
本节课从生活中的实际问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣，感受数学与人类生活的密切联系.为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．