江苏省建陵中学2009-2010学年高二上学期期中考试数学

建陵中学09-10学年高二上学期期中考试
数 学（必修五）
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．若，则 ▲ 。（填“”或“”或“=”）
2．不等式的解集为 ▲
3．若集合，满足，则实数a= ▲ 。
4．在△ABC中，若，则A等于_ ▲ _ ．
5．设等比数列的公比，前项和为，则 ▲ ．
6．在数列中，若，，，则该数列的通项为 ▲ 。
7．不等式组所表示的平面区域的面积等于 ▲
8．已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 ▲ ．
9．已知实数满足则的最小值是 ▲ ．
10．已知是数列的前项和，且有，则数列的通项 ▲ ．
11．已知函数则不等式的解集为 ▲
12．若x∈则的最大值 .
13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
，
若存在整数，使，，则 ▲ ．
14．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是_▲ ___.
二、解答题（共90分）
15．（本题14分）解不等式：（1）； （2）.
16．（本题14分）（1）设a、b∈（0，+∞），证明不等式：；
（2）已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1，求证：a2+b2≥。
17．（本题14分）已知在中,,分别是角所对的边.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若,,求的面积.
18．（本题16分）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
19．（本题16分） 某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需各
种费用万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加万元，
该船每年捕捞的总收入为万元。
（1）该船捕捞几年开始赢利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均赢利达到最大值时，以万元的价格卖出；②当赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出，问哪一种方案比较为合算？请说明理由。
20．（本题16分）已知数列、中，对任何正整数都有：
．
（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由。
建陵中学09-10学年高二上学期期中考试
数 学（必修五）
命题、审校人：黄启新
题号
一
二
总分
15
16
17
18
19
20
得分
一、填空题：
1.____________2.________ __3.______________4._____ _______
5.____________6.______ ____7.______________8.____________
9.___________10._____________11._____________12.___________
13.__________14._____________
二、解答题：

15．
16．
17．
18．
19．
20．
建陵中学09-10学年高二上学期期中考试
数学（必修五）参考答案
命题、审校人：黄启新
填空题（每小题5分，共70分）
1．若，则 。（填“”或“”或“=”）
2．不等式的解集为
3．若集合，满足，则实数a= 。2
4．在△ABC中，若，则A等于_ _ ．
5．设等比数列的公比，前项和为，则 ．15
6．在数列中，若，，，则该数列的通项为 。
7．不等式组所表示的平面区域的面积等于
8．已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得
的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 ．
9．已知实数满足则的最小值是 ．1
10．已知是数列的前项和，且有，则数列的通
项 ．
11．已知函数则不等式的解集为 。（）
12．若x∈则的最大值 .
13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
，
若存在整数，使，，则 ．
14．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是____.
二、解答题：（共90分）
15．（本题14分）解不等式：（1）； （2）.
解：（1）或，
∴原不等式的解集为或；
（2）
，∴原不等式的解集为。
16．（本题14分）（1）设a、b∈（0，+∞），证明不等式：；
（2）已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1，求证：a2+b2≥。
证明：（1）∵a、b∈（0，+∞），∴、，
由基本不等式，得，即。
（2）方法一：∵（见课本91习题1），又a+b=1，
∴，即a2+b2≥。
方法二：∵a、b∈（0，+∞），且a+b=1，∴ ，
从而 ，即a2+b2≥。17．（本题14分）已知在中,,分别是角所对的边.
(Ⅰ)求； (Ⅱ)若,,求的面积.
解: (Ⅰ)因为,∴,则
∴
(Ⅱ)由,得,∴
则
由正弦定理,得,∴的面积为
18．（本题16分）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
19．（本题16分） 某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需各种费用万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加万元，该船每年捕捞的总收入为万元。
（1）该船捕捞几年开始赢利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均赢利达到最大值时，以万元的价格卖出；②当赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出，问哪一种方案比较为合算？请说明理由。
解：（1）设捕捞年后开始赢利，赢利为万元，
则。
由，得，解之得，而，
∴，因而，即捕捞年后，开始赢利。
（2）①平均赢利为，当且仅当时，即时，年平均利润最大。
∴经过年捕捞后年平均利润最大，共赢利为（万元）。
②∵，∴当时，的最大值为，即经过年捕捞赢利最大，共赢利（万元）。
故两种方案获利相等，但方案②时间长，所以方案①合算。
20．（本题16分）已知数列、中，对任何正整数都有：
．
（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由。
解：（1）依题意数列的通项公式是，
故等式即为，
同时有，
两式相减可得 ， 可得数列的通项公式是，
知数列是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：
，
又，
故，，
要使是与无关的常数，必需，
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式为；
②当等比数列的公比时，数列不是等差数列。