整册综合训练试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

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整册综合训练试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．若圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B．π
C．2π D．以上都不对
2．下列说法正确的是（ ）
A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量．
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．
C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同．
D．向量的模可以比较大小．
3．已知复数，，若所对应的点在实轴上，则的值为（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
4．某超市负责人统计了该超市2016－2023年的年营业额（单位：万元）如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．2016－2023年的年营业额的极差为2200万元
B．2016－2019年的年营业额波动性比2020－2023年的年营业额波动性小
C．2016－2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势
D．2016－2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等
5．已知在三角形中，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．为运输方便，某工程队将从到修建一条湖底隧道，如图，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到的距离为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C．点C、D可能同时在线段AB上
D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上
10．已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的体积相等，它们的表面积分别为、、，下面关系中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．下列项目中需要收集的数据，可以通过试验获取的有（ ）
A．某种新式海水稻的亩产量
B．某省人民群众对某任省长的满意度
C．某品牌的新款汽车A柱（挡风玻璃和左、右前车门之间的柱）的安全性
D．某地区降水量对土豆产量的影响情况
12．已知所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点N是的重心
C．若，则点P是的垂心
D．若，且，则为直角三角形
13．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（ ）
A．边中线的中点
B．边中线的三等分点（非重心）
C．的重心
D．边的中点
14．如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则 ．
16．将复数z＝化为代数形式为 ．
17．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD= .
18．在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
19．斜三棱柱的底面是正三角形，侧棱和棱所成的角都是，若，，则此三棱柱的侧面积为 .
四、解答题
20．已知直径为的球面上三点满足，，，求球心到平面的距离．
21．如图，已知在四棱锥中，，，，，E，F分别为棱PB，PA的中点．
(1)求证：平面平面EFDC；
(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积．
22．在中，分别为角所对的边.
(1)若，求角的大小；
(2)若，，，求.
23．如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
参考答案
1．B
根据题意，结合圆锥表面积公式列方程求解即可.
设圆锥的母线长为,，底面半径为，侧面展开图的圆心角为，
则圆锥的侧面积为，表面积为，
依题意得：，化简得：，
所以.
故选：B
2．D
根据向量的定义，以及相等向量，模的定义，即可判断选项.
A.质量、功不是向量，故A错误；
B.向量不能比较大小，故B错误；
C.相等向量指方向相同，长度相等的向量，与起点和终点无关，故C错误；
D.向量的模是数量，可以比较大小，故D正确.
故选：D
3．C
利用复数对应点的性质求解即可.
因为复数，，
所以，
因为所对应的点在实轴上，所以，
解得，故C正确.
故选：C
4．D
选项A：由极差定义求解；选项B：由条形图判断；选项C：由条形图判断；选项D：利用中位数和平均数的定义判断
选项A：2016－2023年的年营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为3400－1200=2200（万元），故A正确．
选项B：2016－2019年的年营业额波动性比2020－2023年的年营业额波动性小，故B正确．
选项C：2016－2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确．
选项D：2016－2023年的年营业额按从小到大的顺序排列如下，1200万元，2000万元，2100万元，2200万元，2400万元，2800万元，3200万元，3400万元，
所以年营业额的中位数是2200万元和2400万元的平均数，
即2017年和2018年的年营业额的平均数，故D错误．
故选：D
5．A
根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；
解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以
，因为，所以，所以，即；
故选：A
6．A
由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解．
对于A，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角，
即角有个值，故有两解；
对于B，若，，，由正弦定理可得，得，
得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解；
对于C，若，，，
由正弦定理可得，得，得，
再根据，则只能是锐角，故有一解；
对于D，若，，，
则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在.
故选：A．
7．B
由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得．
连接AC，由题意，∠ABC＝45°，∠ACD＝75°－15°＝60°，∠BCD＝75°＋45°＝120°，
∠ACB＝60°，AB＝，CD＝，

在△ABC中，由正弦定理得，，
即，则，
在△ACD中，由余弦定理得，，
则．
故选：B．
8．A
设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.
设外心为，外心为，DB中点为E.
因，平面，平面平面，
平面平面，则平面，又平面，
则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，
则四边形为矩形.外接圆半径.
又因，，则.故外接圆半径.
又.
又平面，平面，则.
故外接球半径，
故外接球表面积为.
故选：A
9．C
根据题意，不妨设，利用向量的坐标运算，用表示出，再对每个选项进行逐一分析，即可判断.
由已知不妨设，
则，
因为C、D和谐分割点A、B，
所以，
所以，
代入得，（*）
若C是线段AB的中点，则，代入( )得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故A错误；
若是靠近点A的线段AB的三等分点，
则，代入( )得，，
此时两点重合，与题意矛盾，故B错误；
若C，D同时在线段AB上，则，则，
当时，，此时符合题意，
所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确；
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则，
所以，这与矛盾，
所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误.
故选：C.
10．B
设正方体棱长为，圆柱底面圆半径为，球半径为，三者体积都为.
则，
，
.
因，则，注意到，则.
得；
，因，则；
，注意到，则，，
得.
综上，.
故选：B
11．AC
解：A，C两项所需数据都没有现存数据可供查询，需要通过试验的方法来获取样本观测数据．B项数据宜通过调查获取，D项数据宜通过观察或查询获取．
故选:AC．
12．ABC
对于A，因为，所以点O到的三个顶点的距离相等，所以O为的外心，故A正确；
对于B，如图所示，D为BC的中点，由，得，所以，所以N是的重心，故B正确；

对于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以点P是的垂心，故C正确；
对于D，由，得角A的平分线垂直于BC，所以，
由，得，所以，所以为等边三角形，故D错误．
故选：ABC．
13．ACD
利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案.
因为O是的重心，所以，
所以,
所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心）
故选：ACD
14．BCD
建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断
如图建立直角坐标系，
则,
所以，故A错，
，故B对；
，故C对；
，故D对；
故选：BCD
15．
根据已知数据的平均数和方差，利用性质，求出所求数据的平均数和方差.
数据，，，的平均数为6，
数据，，，的平均数,
数据，，，的方差为4，
数据，，，的方差,
.
故答案为：.
16．1－i
计算出三角函数值后化简即可.
z＝．
故答案为：1－i
17．2
取中点，连接，证明平面，得，然后勾股定理计算．
取中点，连接，
是正三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
，则，又，所以，，
所以，所以．
故答案为：2．
18．
根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可.
由题知，
则
，当且仅当时取等号.
，
而，
.
故答案为：
19．/
取中点，作平面，可知在上，根据，可知平面，由此得到，即，则四边形为矩形；分别计算得到各个侧面的面积，加和即可得到所求侧面积.
取中点，连接，作平面，垂足为，
为正三角形，且平分；
侧棱和棱所成的角都是，在的角平分线上，即上；
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，又，，
；
又，此三棱柱的侧面积.
故答案为：.
20．
由直角三角形外接圆性质可求得小圆半径，由可求得结果.
，，所在小圆的半径，
又球的半径，.
21．(1)见解析；
(2)
（1）因为在平面中，，故，
因为，故，而，
，平面，故平面.
因为平面，故，
因为，，故，
因为，平面，故平面.
因为分别为棱的中点，故，
而，故，
故四点共面，而平面，
故平面平面.
（2）
取的中点为，连接，
由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故为直线与平面所成的角，
故，
因为平面，平面，故，
故为等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面积.
又平面，故平面平面，
而为等边三角形，故，且.
因为平面，平面平面，
故平面，
故四棱锥的体积为.
22．(1)
(2)
（1）由余弦定理得，.
∵，
∴，整理得，
∴.
∵，∴.
（2）由，得.
由余弦定理得，
.
23．(1)
(2)
（1）确定，，，，计算得到答案.
（2），，计算得到答案.
（1）；
，
，故，
.
（2），
.
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