第十章 概率 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
概率 章末拓展试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 必修第二册
一、单选题
1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红 黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
2．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，两两互斥，则
D．若事件，满足，则与相互对立
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
6．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． B． C． D．
8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（ ）
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
二、多选题
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．如果，那么
C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件与互斥
C． D．事件与对立
三、填空题
12．已知事件与事件互斥，如果，，那么 .
13．甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲 乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 .
14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．
四、解答题
15．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
17．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
18．甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
(1)写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
(2)写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．
参考答案
1．C
根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
2．A
找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，
代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，
因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.
故选：A.
3．A
根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D.
对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，
但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若，为两个事件，则，故B错误；
对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”，
事件，，两两互斥，但.故C错误；
对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，
抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误.
故选：A.
4．C
事件A与事件B能同时发生，从而A与B不是互斥事件，也不是对立事件；抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n=6，A+B包含的基本事件个数为m=4，从而.
抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，
对于A，事件A与事件B能同时发生，A错误；
对于B，事件A与事件B能同时发生，B错误；
对于CD，抛掷一颗质地均匀的骰子，
包含的基本事件个数为，而基本事件总数，
∴，故C正确，D错误；
故选：C.
5．C
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
6．C
根据独立事件的乘法公式计算即可.
解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
，
故选：C.
7．B
设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
8．D
根据事件相互独立的定义判断.
由题意知，
，所以C与D不相互独立，
，所以A与D不相互独立，
，所以B与D不相互独立，
，所以A与C相互独立，
故选：D
9．BCD
根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.
A选项：当与相互独立时，，A选项错误；
B选项：若，则，B选项正确；
C选项：与互斥，那么，C选项正确；
D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；
故选：BCD.
10．ACD
先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.
设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，
为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则，，故A正确.
，，故B错误.
而，故C正确.
两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，
故D正确.
故选：ACD.
11．BC
根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：
共36种，
若，此时取或
所以，故A错误；
若，则恒成立，
所以与互斥，故B正确；
，故C正确；
当时，，此时事件与均未发生，
所以事件与不对立，故D错误.
故选：BC
12．/
根据互斥得到，计算，得到答案.
事件与事件互斥，则，，
故.
故答案为：.
13． /0.32 /0.42
设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
则有，，
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
故答案为：；
14．
解：由题可知，，且，
要使得，即：，则有：
当时，或，有2种取法；
当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法；
当时，的取值增加6、7、8，有种取法；
当时，有种取法；
当时，都有1000种取法.
故
.
故答案为：.
15．(1)，中位数为（分）
(2)
（1）由题意可得，
解得，
由，
可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，
则，解得，
所以此次问卷调查分数的中位数为（分）；
（2）的市民有人，记为a，b，
的市民有人，记为1，2，3，4，
则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，
则所求概率为.
16．(1)
(2)
（1）甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为，，
甲、乙两人所付租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．
租车费都为0元的概率为，租车费都为2元的概率为，租车费都为4元的概率为.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为.
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为，则“”表示“两人的租车费用之和为4元”，
其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．
所以可得，
即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
17．(1)
(2)
（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是.
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
18．(1)事件为ACAC，概率为；
(2)事件分别为BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率为；
(3).
（1）依题意，， “乙队连胜四场”的事件为ACAC，
所以.
（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；
“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，
所以，“比赛四场结束”的概率为
．
（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)